Что такое anyons и как они относятся к топологическим квантовым вычислениям?

Я пытался получить общее представление о том, что такое anyons за последние пару дней. Тем не менее, статьи в Интернете (включая Википедию) кажутся необычно расплывчатыми и непроницаемыми для объяснения топологических квантовых вычислений и всего остального.

Страница Вики на топологическом квантовом компьютере говорит:

Топологический квантовый компьютер - это теоретический квантовый компьютер, в котором используются двумерные квазичастицы, называемые анионами , мировые линии которых проходят вокруг друг друга, образуя косы в трехмерном пространстве-времени (т. Е. Одно временное плюс два пространственных измерения ). Эти косы образуют логические ворота , из которых состоит компьютер. Преимущество квантового компьютера, основанного на квантовых косах, над использованием захваченных квантовых частиц состоит в том, что первый является гораздо более устойчивым. Небольшие кумулятивные возмущения могут вызывать декогерацию квантовых состояний и вносить ошибки в вычисления, но такие небольшие возмущения не изменяют топологические свойства кос.

Это звучало интересно. Итак, увидев это определение, я попытался выяснить, что такое anyons :

В физике анион - это тип квазичастиц, который встречается только в двумерных системах , свойства которого гораздо менее ограничены, чем у фермионов и бозонов. В общем, операция обмена двумя одинаковыми частицами может вызвать глобальный фазовый сдвиг, но не может повлиять на наблюдаемые.

Хорошо, у меня есть некоторое представление о том, что квазичастицы есть. Например, когда электрон проходит через полупроводник, его движение сложно нарушается из-за его взаимодействия со всеми другими электронами и ядрами; однако он примерно ведет себя как электрон с другой массой (эффективной массой), путешествующий невозмущенным в свободном пространстве. Этот «электрон» с другой массой называется «электронной квазичастицей». Поэтому я склонен полагать, что квазичастица, в общем, является приближением для сложного явления частицы или волны, которое может происходить в веществе, с которым было бы трудно математически справиться иначе.

Однако я не мог понять, что они говорили после этого. Я знаю, что бозоны - это частицы, которые следуют статистике Бозе-Эйнштейна, а фермионы следуют статистике Ферми-Дирака .

Вопросов:

• Тем не менее, что они имеют в виду под «гораздо меньшим ограничением, чем фермионы и бозоны»? Следуют ли «аноны» статистическому распределению иного типа, чем бозоны или фермионы?

• В следующей строке говорится, что обмен двумя одинаковыми частицами может вызвать глобальный фазовый сдвиг, но не может повлиять на наблюдаемые. Что понимается под глобальным фазовым сдвигом в этом контексте? Кроме того, о каких наблюдаемых фактах они говорят?

• Как эти квазичастицы, т. Е. Что-либо, имеют отношение к квантовым вычислениям? Я продолжаю слышать расплывчатые вещи вроде «Мировые линии аньонов образуют косы / узлы в 3-х измерениях (2 пространственных и 1 временное). Эти узлы помогают формировать устойчивые формы материи, которые не легко поддаются декогеренции ». Я думаю, что это видео Ted-Ed дает некоторую идею, но, похоже, имеет дело с ограничением электронов (а не "anyons"), чтобы двигаться по определенной замкнутой траектории внутри материала.

Я был бы рад, если бы кто-то мог помочь мне соединить точки и понять значение и значение «anyons» на интуитивном уровне. Я думаю, что объяснение на уровне непрофессионала было бы для меня более полезным, чем полное математическое объяснение. Тем не менее, я знаю основы квантовой механики на уровне бакалавриата, так что вы можете использовать это в своем объяснении.

Первое, что нужно сделать, это подумать топологически: убедитесь, что вы понимаете, почему кофейная чашка - это то же самое, что и пончик.

Теперь представьте, что мы поменяемся местами на две одинаковые частицы и сделаем это снова, чтобы мы вернулись к тому, с чего начали. Примените это топологическое мышление к путям, выбранным частицами: это то же самое, что ничего не делать.

Здесь я показываю картину этого, где одна частица тянется вокруг другой частицы. Топологически выбранный путь может быть деформирован обратно в путь «ничего не делать».

Квадратный корень этой операции - это своп:

Поскольку корень квадратный из 1 равен +1 или -1, своп влияет на состояние, умножая либо на +1 (для бозонов), либо на -1 (для фермионов.)

Чтобы понять что-либо, мы собираемся сделать тот же анализ, но с одним меньшим измерением. Таким образом, теперь частица, намотанная вокруг другой частицы, не является топологически такой же, как операция «ничего не делать»:

Нам нужно дополнительное третье измерение, чтобы распутать путь аньона, и поскольку мы не можем сделать это топологически, состояние системы может быть изменено таким процессом.

Все становится интереснее, когда мы добавляем частицы. При наличии трех анонов пути могут быть запутаны или заплетены произвольным образом. Чтобы увидеть, как это работает, полезно использовать три измерения: два измерения пространства и одно измерение времени. Вот пример трех аньонов, бродящих вокруг и затем возвращающихся туда, где они начали:

Задолго до того, как физики начали думать о чьих-либо, математики уже выяснили, как эти процессы плетения объединяются, образуя новые косы или отменяя косы. Они известны как "группы кос" в работе, которая восходит к Эмилю Артину в 1947 году.

Как и различие между бозонами и фермионами выше, различные системы anyon будут вести себя по-разному, когда вы выполняете эти операции кос. Один из примеров anyon, известный как anyon Фибоначчи, способен аппроксимировать любую квантовую операцию, просто выполняя эти виды кос. И поэтому теоретически мы могли бы использовать их для создания квантового компьютера.

Я написал вступительную статью о anyons, где я получил эти фотографии: https://arxiv.org/abs/1610.05384 . Там больше математики, а также описание близкого родственника теории аньонов, известного как «модульный функтор».

Вот еще одна хорошая ссылка, с большей добротой по Фибоначчи: Введение в топологические квантовые вычисления с неабелевыми анионами

РЕДАКТИРОВАТЬ : я вижу, что я ничего не сказал о наблюдаемых. В наблюдаемых системах измерения общего содержания анионного в пределах области. С точки зрения путей anyon мы можем думать об этом как об объединении всех anyons в некотором регионе и «слиянии» их в один anyon, который может быть вакуумным состоянием «no anyon». Для системы, поддерживающей анонимы Фибоначчи, для такого измерения всегда будет только два результата: фибоначчи или вакуум. Другой пример - торический код, в котором есть четыре результата anyon.

Вы правы, похоже, страница Википедии нуждается в работе, поэтому мне придется ее обновить. А пока я отвечу на все пять вопросов:

1) Что они подразумевают под «гораздо меньшим ограничением, чем фермионы и бозоны?

$|\psi_1\psi_2\rangle = \pm|\psi_2\psi_1\rangle$
$+$$-$

$|\psi_1\psi_2\rangle = e^{i\theta}|\psi_2\psi_1\rangle$
$\theta=0$$\theta=\pi$

2) Следуют ли «аноны» статистическому распределению иного типа, чем бозоны или фермионы?

$\theta$$0$$\pi$

3) Обмен двух одинаковых частиц может вызвать глобальный фазовый сдвиг, но не может повлиять на наблюдаемые. Что понимается под глобальным фазовым сдвигом в этом контексте?

$e^{i\theta}$$-1$

В статье из Википедии должно было быть сказано, что, когда вы дважды обмениваетесь двумя идентичными частицами, вы по-прежнему получаете глобальный фазовый сдвиг, что неверно для бозонов и фермионов. Здесь первая и вторая стрелки указывают первый и второй раз, когда мы обмениваем частицы 1 и 2:

$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow |\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow |\psi_1\psi_2\rangle$
$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow -|\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow -(-|\psi_1\psi_2\rangle)=|\psi_1\psi_2\rangle$
$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow e^{i\theta}|\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow e^{i\theta}(e^{i\theta})=e^{i2\theta}|\psi_1\psi_2\rangle$$e^{i2\theta}$

4) Более того, о каких наблюдаемых фактах они здесь говорят?

$x$$x$$\langle \psi|\hat{x}|\psi\rangle$

$| \psi\rangle=e^{i\theta}|\phi\rangle$
$\langle \psi|=e^{-i\theta}\langle\phi|$
$\langle\psi|\hat{x}|\psi\rangle = \langle\phi|\hat{x}|\phi\rangle$

$|\phi\rangle$$|\psi\rangle$$e^{i\theta}$

5) Как эти квазичастицы, то есть те, которые действительно имеют отношение к квантовым вычислениям?

Есть много предложений по созданию квантового компьютера, например:

• (i) ЯМР квантовые компьютеры используют фермионы (такие как спин протона).
  
• (ii) Фотонные квантовые компьютеры используют бозоны (фотоны - бозоны)
  
• (iii) Топологические квантовые компьютеры - это предлагаемый тип квантового компьютера, который будет использовать любые сети.

Преимущество (iii) перед (i) состоит в том, что точность должна быть намного выше. Преимущество перед (ii) состоит в том, что кубиты должны быть легче взаимодействовать. Недостатком по сравнению с (i) и (ii) является то, что эксперименты с участием anyons являются сравнительно новыми. ЯМР существует с 1938 года, а лазеры (фотоника) - с 1960 года, но эксперименты с аньонами начались в 1980-х годах и все еще далеки от достижения зрелости науки о спине или лазерной науки, не говоря уже о том, что этого никогда не произойдет в будущее.

«Я думаю, что объяснение на уровне непрофессионала было бы для меня более полезным, чем полное математическое объяснение».

$e^{i\theta}$

$e^{i\theta}$