Какие приложения есть в алгоритме поиска Grover?

Об алгоритме поиска Гровера обычно говорят в терминах поиска помеченной записи в несортированной базе данных. Это естественный формализм, который позволяет применять его непосредственно к поиску решений проблем NP (где хорошее решение легко распознается).

Мне было интересно узнать о других приложениях поиска Гровера для поиска минимума, среднего значения и медианы набора чисел. Это заставляет меня задуматься о том, существуют ли какие-либо другие менее очевидные приложения поиска Гровера (или приложения его обобщений, такие как усиление амплитуды), которые уже известны? Любое краткое понимание о том, как это делается, будет оценено.

Помимо упомянутых вами, еще одно применение (модифицированного) алгоритма Гровера, о котором я знаю, - это решение проблемы столкновений в теории сложности, квантовых вычислениях и вычислительной математике . Это также называется алгоритмом BHT .

Введение :

Проблема столкновения чаще всего относится к версии 2 к 1, которая была описана Скоттом Ааронсоном в его диссертации. Учитывая , что четно и функция F : { 1 , . , , , П } → { 1 , . , , , n } мы заранее знаем, что f равно 1-к-1 или 2-к-1. Нам разрешено только делать запросы о значении f ( i ) для любого i ∈ { 1 , 2 $n$$f:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\}$$f$$f(i)$ . Затем проблема спрашивает, сколько запросов нам нужно сделать, чтобы с уверенностью определить,являетсяли f 1-к-1 или 2-к-1.$i\in\{1,2,...,n\}$$f$

Решение версии 2-к-1 детерминировано требует запросов, и, в общем, для отличия функций r-to-1 от функций 1-к-1 требуется n / r + 1 запросов.$n/2+1$$n/r+1$

Детерминированное классическое решение :

Это прямое применение принципа голубя: если функция r-to-1, то после запросов мы гарантированно обнаружим столкновение. Если функция 1-к-1, то столкновения не существует. Если нам не повезет, то n / r- запросы могут дать разные ответы. Так что n / r + 1 запросов необходимы.$n/r+1$$n/r$$n/r+1$

Рандомизированное классическое решение :

Если мы допустим случайность, проблема будет проще. По парадоксу дня рождения, если мы выбираем (различные) запросы случайным образом, то с большой вероятностью мы находим столкновение в любой фиксированной функции 2-в-1 после запросы.$\Theta(\sqrt{n})$

Квантовое решение BHT :

Интуитивно, алгоритм объединяет ускорение квадратного корня из парадокса дня рождения с использованием (классической) случайности с ускорением квадратного корня из алгоритма Гровера (квантового).

Во- первых, входы F выбраны случайным образом и е опрашивается на всех из них. Если между этими входами есть коллизия, мы возвращаем пару входов. В противном случае все эти входные данные отображаются в различные значения на f . Затем алгоритм Гровера используется, чтобы найти новый вход для f, который сталкивается. Поскольку существует только п 2 / 3 такие входы в F , алгоритм Гровера может найти один (если она существует), сделав только O ( $n^{1/3}$$f$$f$$f$$f$$n^{2/3}$$f$запросы ке.$\mathcal{O}(\sqrt{n^{2/3}})=\mathcal{O}(n^{1/3})$$f$

Источники:

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Collision_problem

2. https://en.wikipedia.org/wiki/BHT_algorithm

3. Квантовый алгоритм для решения проблемы столкновения - Жиль Брассар, Питер Хойер, Ален Тапп

Алгоритм Гровера широко используется и в квантовой криптографии. Его можно использовать для решения таких проблем, как проблема трансцендентального логарифма, проблема поиска полиномиального корня и т. Д.

$M$$M$

Фактически, алгоритм Гровера является самым известным квантовым алгоритмом для многих сложных задач оптимизации (таких как NP-полные), которые не имеют большой структуры, поддающейся классическому алгоритму, более умному, чем поиск методом перебора: https: // link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-78773-0_67 .