Как алгоритм Гровера используется для оценки среднего и медианы набора чисел?

На странице Википедии об алгоритме Гровера упоминается, что:

«Алгоритм Гровера также можно использовать для оценки среднего и медианы набора чисел»

До сих пор я знал только, как это можно использовать для поиска в базе данных. Но не уверен, как реализовать эту технику для оценки среднего и медианы набора чисел. Более того, на этой странице нет цитирования (насколько я заметил), объясняющего методику.

algorithm grovers-algorithm

— Санчайан Датта
источник

Либо, если вы решите ответить на свой собственный вопрос, или для тех, кто решит взять на себя задачу, эта ссылка выглядит как отличное место для начала. Как использовать алгоритм Гровера для нахождения среднего (иначе, среднего, интегрального) функции Weirdo

— agaitaarino

@agaitaarino Спасибо. Я посмотрю через это. Кстати, ваш комментарий не отображается как ссылка, потому что вы оставили пустое место после открывающей скобки. :)

— Санчайан Датта

Я думаю, что соответствующая статья - «Оптимальный квантовый алгоритм для аппроксимации среднего значения и его применение для аппроксимации медианы множества точек на произвольном расстоянии», автор Brassard et al .

— Крейг Гидни

Идея для оценки среднего примерно такова:

Для любого который дает выходные данные в действительных значениях, определите масштабированный который дает выходные данные в диапазоне от 0 до 1. Мы стремимся оценить среднее значение . $f(x)$ $F(x)$ $F(x)$
Определим унитарный чья операция $U_a$ Важно отметить, что этот унитар легко реализуется. Вы начинаете с преобразования Адамара в первом регистре, выполняете вычислениев вспомогательном регистре, используете это для реализации управляемого вращения второго регистра, а затем вычисляете вспомогательный регистр.
$U_{a} : | 0 ⟩ | 0 ⟩ \mapsto \frac{1}{2^{n / 2}} \sum_{x} | x ⟩ (\sqrt{1 - F (x)} | 0 ⟩ + \sqrt{F (x)} | 1 ⟩) .$ $U_a:|0\rangle|0\rangle\mapsto\frac{1}{2^{n/2}}\sum_x|x\rangle(\sqrt{1-F(x)}|0\rangle+\sqrt{F(x)}|1\rangle).$ $f(x)$
Определим унитарный . $G=U_a (\mathbb{I}-2|0\rangle\langle 0|\otimes |0\rangle\langle 0|)U_a^\dagger \mathbb{I}\otimes Z$
Начиная с состояния , используйте так же, как вы бы использовать Гровер итератор для оценки числа решений задачи поиска. $U_a|0\rangle|0\rangle$ $G$

Основная часть этого алгоритма - амплитуда амплитуды, как описано здесь . Основная идея заключается в том, что вы можете определить два состояния и это определяет подпространство для эволюции. Начальное состояние

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{\sum_{x} F (x)}} \sum_{x} \sqrt{F (x)} | x ⟩ | 1 ⟩ | ψ^{⊥} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{\sum_{x} 1 - F (x)}} \sum_{x} \sqrt{1 - F (x)} | x ⟩ | 0 ⟩,

$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{\sum_x F(x)}}\sum_x\sqrt{F(x)}|x\rangle|1\rangle \qquad |\psi^\perp\rangle=\frac{1}{\sqrt{\sum_x 1-F(x)}}\sum_x\sqrt{1-F(x)}|x\rangle|0\rangle,$

. Амплитуда

терминочевидносодержит информацию о среднем

, если мы могли бы просто оценить его. Вы можете просто несколько раз подготовить это состояние и измерить вероятность получения

на втором регистре, но поиск Гровера дает квадратное улучшение. Если вы сравните с тем, как обычно устанавливается Гровер, амплитуда этого

U_{a} | 0 ⟩ | 0 ⟩ = (\sqrt{\sum_{x} F (x)} | ψ ⟩ + \sqrt{\sum_{x} 1 - F (x)} | ψ^{⊥} ⟩) 2^{- n / 2}

$U_a|0\rangle|0\rangle=(\sqrt{\sum_x F(x)}|\psi\rangle+\sqrt{\sum_x 1-F(x)}|\psi^\perp\rangle)2^{-n/2}$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

F (x)

$F(x)$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ который вы можете «пометить» (в этом случае, применяя

) будет

I \otimes Z

$\mathbb{I}\otimes Z$

где

- количество решений.

\sqrt{\frac{m}{2^{n}}}

$\sqrt{\frac{m}{2^n}}$

m

$m$

Кстати, это интересно сравнить с «мощью одного чистого кубита», также известной как DQC1. Там, если вы примените к $U_a$ вероятность получения ответа 1 такая же, как и в неускоренной версии, и дает оценку среднего значения. $\frac{\mathbb{I}}{2^n}\otimes|0\rangle\langle 0|$

$z$

\sum_{x} | f (x) - f (z) | .

$\sum_x|f(x)-f(z)|.$

T

$T$

x

$x$

f (x) \leq T

$f(x)\leq T$

T

$T$

Конечно, я пропускаю некоторые детали точного времени выполнения, оценки ошибок и т. Д.

— DaftWullie
источник

Вам нужно сначала запустить алгоритм Гровера логарифмически сколько раз, чтобы вычислить минимальное и максимальное значение функции, прежде чем вы сможете выполнить масштабирование на шаге 1?

— tparker

@tparker Это, вероятно, зависит. Часто считается, что вы знаете достаточно о функции F, чтобы иметь возможность связать ее возможные значения.

— DaftWullie