Что означает запутывание двух кубитов?

Я провел какое-то онлайн-исследование кубитов и факторов, делающих их печально известными, то есть позволяя кубитам одновременно удерживать 1 и 0, а другой - то, что кубиты могут каким-то образом запутываться, так что они могут иметь связанные с ними данные независимо от того, как далеко они есть (даже на противоположных сторонах галактик).

Читая об этом в Википедии, я увидел какое-то уравнение, которое мне все еще трудно понять. Вот ссылка на Википедию .

Вопросов:

1. Как они запутались в первую очередь?

2. Как они соотносят свои данные?

Для простого примера предположим, что у вас есть два кубита в определенных состояниях и | 0 ⟩ . Комбинированное состояние системы | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ или | 00 ⟩ в стенографии.$|0\rangle$$|0\rangle$$|0\rangle\otimes |0\rangle$$|00\rangle$

Затем, если мы применим следующие операторы к кубитам (изображение вырезано из вики-страницы сверхплотного кодирования ), полученное состояние будет запутанным состоянием, одним из состояний колокольчика .

Сначала на изображении у нас есть ворота Адамара, действующие на первый кубит, который в более длинной форме - это так что он является оператором тождественности на втором кубите.$H\otimes I$

Матрица Хадамара выглядит как где базис упорядочен{| 0⟩,| 1⟩}.

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$

Таким образом, после того, как оператор Hadamard действует, государство теперь

$$(H\otimes I)(|0\rangle\otimes|0\rangle)=H|0\rangle\otimes I |0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes (|0\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle)$$

Следующая часть схемы является управляемым, а не гейтом, который действует только на второй кубит, если первый кубит равен .$1$

Вы можете представить как | 0 ⟩ ⟨ 0 | ⊗ я + | 1 ⟩ ⟨ 1 | ⊗ X , где | 0 ⟩ ⟨ 0 | является оператором проекции на бит 0 или в матричной форме ( 1 0 0 0 ) . Аналогично | 1 ⟩ ⟨ 1 | является ( 0 0 0 1 ) .$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$|0\rangle\langle0|$$0$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle\langle1|$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Оператор - это оператор переворота битов, представленный в виде ( 0 1 1 0 ) .$X$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

В целом матрица составляет ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0$CNOT$$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\0 & 0 &1 & 0 \\\end{pmatrix}$

Когда мы применяем мы можем использовать умножение матриц, записывая наше состояние как вектор ( $CNOT$, или мы можем просто использовать форму тензорного произведения.$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\0 \end{pmatrix}$

$$CNOT (\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle))=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

Мы видим, что для первой части государства первый бит равен 0 , поэтому второй бит оставили в покое; вторая часть государства | 10 ⟩ первый бит равен 1 , так что второй бит переворачивается от 0 до 1 .$|00\rangle$$0$$|10\rangle$$1$$0$$1$

Наше конечное состояние который является одним из четырех состояний Bellкоторые максимально запутанные состояния.

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

Чтобы увидеть, что для них значит быть запутанным, обратите внимание, что если вы должны измерить состояние первого кубита, скажем, если вы обнаружили, что это был он сразу скажет вам, что второй кубит также должен быть 0 , потому что это наша единственная возможность.$0$$0$

Сравните с этим состоянием, например:

$$\frac{1}{2}(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle).$$

Если вы измеряете, что первый кубит равен нулю, то состояние падает до , где есть еще 50-50 шанс второй кубит является0или1.$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|01\rangle)$$0$$1$

Надеемся, что это дает представление о том, как государства могут быть запутаны. Если вы хотите знать конкретный пример, такой как запутывание фотонов или электронов и т. Д., То вам придется посмотреть, как можно реализовать определенные элементы, но все же вы можете написать математику одинаково, и 1 могут представлять разные вещи в разные физические ситуации.$0$$1$

---

Обновление 1: Мини-руководство по обозначениям QM / QC / Dirac

Обычно для одного кубита существует стандартная вычислительная (орто-нормальная) база, которая является , скажем , H = продолжительность { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ } есть векторное пространство.$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$\mathcal{H}=\operatorname{span}\{|0\rangle,|1\rangle\}$

В этом упорядочении базы мы можем определить с ( 1 0 ) и | 1 ⟩ с ( 0 1 ) . Любой оператор одиночного кубита может быть записан в матричной форме с использованием этого базиса. Например, немного перевернуть оператор X (после pauli- σ x ), который должен принимать | 0 ⟩ ↦ | 1 ⟩ и | 1 ⟩ ↦ | 0 ⟩ , можно записать в виде ( 0 1 1 $|0\rangle$$\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle$$\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$$X$$\sigma_x$$|0\rangle\mapsto |1\rangle$$|1\rangle \mapsto |0\rangle$ , первый столбец матрицы - это изображение первого базисного вектора и т. д.$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$n$$\mathcal{H}^{\otimes n}:=\overbrace{\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}}^{n-times}$. A basis for this space is labelled by strings of zeros and ones, e.g. $|0\rangle\otimes|1\rangle\otimes |1\rangle\otimes\ldots \otimes|0\rangle$, which is usually abbreviated for simplicity as $|011\ldots0\rangle$.

$\mathcal{H}^{\otimes 2}=\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$$\{|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle\}$$\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\}$.

There's different ways to order this basis in order to use matrices, but one natural one is to order the strings as if they are numbers in binary so as above. For example for $3$ qubits you could order the basis as

$$\{|000\rangle,|001\rangle,|010\rangle,|011\rangle,|100\rangle,|101\rangle,|110\rangle,|111\rangle\}.$$

The reason why this can be useful is that it corresponds with the Kronecker product for the matrices of the operators. For instance, first looking at the basis vectors:

$$|0\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

and

$$|0\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

and similarly

$$|1\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\1\\0 \end{pmatrix},\quad |1\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

If you have an operator e.g. $X_1X_2:=X\otimes X$ which acts on two qubits and we order the basis as above we can take the kronecker product of the matrices to find the matrix in this basis:

$$X_1X_2=X\otimes X=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 0\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0&0&1\\ 0 &0&1&0\\0 &1&0&0\\1 &0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

If we look at the example of $CNOT$ above given as $|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$.$^*$ This can be computed in matrix form as $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, which you can check is the $CNOT$ matrix above.

It's worthwhile getting used to using the shorthands and the tensor products rather than converting everything to matrix representation since the computational space grows as $2^n$ for $n$-qubits, which means for three cubits you have $8\times 8$ matrices, $4$-qubits you have $16\times 16$ matrices and it quickly becomes less than practical to convert to matrix form.

Aside$^*$: There are a few common ways to use dirac notation, to represent vectors like $|0\rangle$; dual vectors e.g. $\langle 0|$, inner product $\langle 0|1\rangle$ between the vectors $|0\rangle$ and $|1\rangle$; operators on the space like $X=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|$.

An operator like $P_0=|0\rangle\langle0|$ is a projection operator is a (orthogonal) projection operator because it satisfies $P^2=P$ and $P^\dagger=P$.

Although the linked wikipedia article is trying to use entanglement as a distinguishing feature from classical physics, I think one can start to get some understanding about entanglement by looking at classical stuff, where our intuition works a little better...

Imagine you have a random number generator that, each time, spits out a number 0,1,2 or 3. Usually you'd make these equally probability, but we can assign any probability to each outcome that we want. For example, let's give 1 and 2 each with probability 1/2, and never give 0 or 3. So, each time the random number generator picks something, it gives 1 or 2, and you don't know in advance what it's going to be. Now, let's write these numbers in binary, 1 as 01 and 2 as 10. Then, we give each bit to a different person, say Alice and Bob. Now, when the random number generator picks a value, either 01 or 10, Alice has one part, and Bob has the other. So, Alice can look at her bit, and whatever value she gets, she knows that Bob has the opposite value. We say these bits are perfectly anti-correlated.

Entanglement works much the same way. For example, you might have a quantum state

$$\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|01\right\rangle-\left|10\right\rangle\right)$$ where Alice holds one qubit of $\left|\psi\right\rangle$, and Bob holds the other. Whatever single-qubit projective measurement Alice chooses to make, she'll get an answer 0 or 1. If Bob makes the same measurement on his qubit, he always gets the opposite answer. This includes measuring in the Z-basis, which reproduces the classical case.

The difference comes from the fact that this holds true for every possible measurement basis, and for that to be the case, the measurement outcome must be unpredictable, and that's where it differs from the classical case (you may like to read up about Bell tests, specifically the CHSH test). In the classical random number example I described at the start, once the random number generator has picked something, there's no reason why it can't be copied. Somebody else would be able to know what answer both Alice and Bob would get. However, in the quantum version, the answers that Alice and Bob get do not exist is advance, and therefore nobody else can know them. If somebody did know them, the two answers would not be perfectly anti-correlated. This is the basis of Quantum Key Distribution as it basically describes being able to detect the presence of an eavesdropper.

Something further that may help in trying to understand entanglement: mathematically, it’s no different to superposition, it’s just that, at some point, you separate the superposed parts over a great distance, and the fact that that is in some sense difficult to do means that making the separation provides you with a resource that you can do interesting things with. Really, entanglement is the resource of what one might call ‘distributed superposition’.

Entanglement is a quantum physical phenomenon, demonstrated in practical experiments, mathematically modeled in quantum mechanics. We can come up with several creative speculations of what it is (philosophically), but at the end of the day we just have to accept it and trust the math.

From a statistics point of view we can think of it as a complete correlation (1 or -1) between two random variables (the qubits). We may not know any these variables outcome beforehand, but once we measure one of them, due to the correlation, the other will be previsible. I recently wrote an article on how quantum entanglement is handled by a quantum computing simulator, wich you may find helpful as well.