Явные ограничения скорости Либа-Робинсона

Оценки Либа-Робинсона описывают, как эффекты распространяются через систему благодаря локальному гамильтониану. Они часто описываются в виде где и - операторы, разделенные расстоянием на решетке, где гамильтониан имеют локальные (например , ближайшие сосед) взаимодействия на этой решетке, ограниченные некоторой силой . В доказательство этого Lieb Робинсон связаны обычно показывают существование скорости (которая зависит от ). Это часто очень полезно для ограничения свойств в этих системах. Например, были некоторые действительно хорошие результаты здесь

| [A, B (t)] | \leq C e^{v t - l},

$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$

A

$A$

B

$B$

l

$l$

J

$J$

v

$v$

J

$J$ относительно того, сколько времени требуется для генерации состояния GHZ с использованием гамильтониана ближайшего соседа.

Проблема , что у меня было в том , что доказательства являются достаточно общими , что трудно получить плотное значение на то , что на самом деле скорость является для любой данной системы.

Чтобы быть точным, представьте одномерную цепочку кубитов, связанных гамильтонианом где для всех . Здесь , и представляют оператор Паули, применяемый к данному кубиту , и везде. Можете ли вы дать хорошую (то есть как можно более точную) верхнюю оценку скорости Либа-Робинсона для системы в формуле. (1)?

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{n = 1}^{N} \frac{B_{n}}{2} Z_{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{J_{n}}{2} (X_{n} X_{n + 1} + Y_{n} Y_{n + 1}), \end{matrix}

$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$

J_{n} \leq J

$J_n\leq J$

n

$n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

Z_{n}

$Z_n$

n

$n$

I

$\mathbb{I}$ $v$

Этот вопрос можно задать при двух разных предположениях:

и все фиксированные во времени $J_n$ $B_n$
и могут изменяться во времени. $J_n$ $B_n$

Первое является более сильным предположением, которое может упростить доказательства, а второе обычно включается в формулировку границ Либа-Робинсона.

мотивация

Квантовые вычисления и, в более общем смысле, квантовая информация сводятся к созданию интересных квантовых состояний. Через таких работ, как это , мы видим , что информация занимает определенное количество времени , чтобы распространяться от одного места к другому в квантовой системе , подвергающейся эволюцию благодаря гамильтоново , например, в формуле. (1), и что квантовые состояния, такие как состояния GHZ, или состояния с топологическим порядком, производят определенное количество времени. В настоящее время результат показывает соотношение масштабирования, например, требуемое время . $\Omega(N)$

Итак, давайте говорить , что я придумал схему , которая делает передачу информации, или производит GHZ состояния и т.д. таким образом , что весы линейно в . Насколько хороша эта схема на самом деле? Если у меня есть явная скорость, я могу видеть, насколько точно соответствует коэффициент масштабирования в моей схеме по сравнению с нижней границей. $N$

Если я думаю, что однажды мне захочется увидеть протокол, реализованный в лаборатории, я очень заинтересован в оптимизации этих коэффициентов масштабирования, а не только в широкой функциональности масштабирования, потому что чем быстрее я смогу реализовать протокол, тем меньше у него шансов. для шума, чтобы прийти и испортить все.

Дальнейшая информация

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ В этом гамильтониане есть несколько приятных особенностей, которые, как я полагаю, упрощают вычисления. В частности, гамильтониан имеет подпространственную структуру, основанную на числе 1 в стандартном базисе (она называется сохраняющей возбуждение), и, что еще лучше, преобразование Джордана-Вигнера показывает, что все свойства высших подпространств возбуждения могут быть получены из подпространства 1-возбуждения. $N\times N$ $h$ $2^N\times 2^N$ $H$ где Есть некоторые доказательства того, что скорость Либа-Робинсона равна , как, например, здесь и здесь , но все они используют цепочку, близкую к равномерно связанной, которая имеет групповую скорость (и я предполагаю, что групповая скорость тесно связана с Скорость Либа-Робинсона). Это не доказывает, что все возможные варианты силы сцепления имеют ограниченную скорость.

h = \sum_{n = 1}^{N} B_{n} | n ⟩ ⟨ n | + \sum_{n = 1}^{N - 1} J_{n} (| n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n |) .

$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$

v = 2 J

$v=2J$

2 J

$2J$

Я могу добавить немного больше к мотивации. Рассмотрим временную эволюцию одиночного возбуждения, начинающегося на одном конце цепочки, , и какова его амплитуда для прибытия на другой конец цепочки , через некоторое время . Для первого порядка в это Вы можете видеть экспоненциальную функциональность, которая, как вы ожидаете, находится за пределами «светового конуса», определенного системой Либа-Робинсона, но, что более важно, если вы хотите максимизировать эту амплитуду, вы установите все $\ket{1}$ $\ket{N}$ $\delta t$ $\delta t$

⟨ N | e^{- i h δ t} | 1 ⟩ = \frac{δ t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} + O (δ t^{N}) .

$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$

J_{n} = J

$J_n=J$ , Таким образом, в короткие промежутки времени равномерно связанная система приводит к самой быстрой передаче. Пытаясь подтолкнуть это дальше, вы можете немного выдумать, когда можете Взяв большой предел и используя формулу Стирлинга на факториале, что предполагает максимальную скорость около . Близко, но вряд ли строго (так как условия высшего порядка не пренебрежимо малы)!

\frac{t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} \sim 1

$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$

N

$N$

\frac{e t J}{N - 1} \sim 1,

$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$

e J

$eJ$

simulation performance many-body-systems

— DaftWullie
источник

Вы рассчитали лучшую LR-оценку из доказательств для этой модели? Как это соотносится со скоростью, которую вы цитируете?

— Норберт Шух

Хорошо, я признаю, что это вопрос квантовых вычислений, по крайней мере, так, как я его сейчас : «Каков выбор и (с учетом некоторых ограничений), который дает максимальную скорость для передачи информации / состояния / .... " --- Это правильная интерпретация?

J_{n}

$J_n$

B_{n}

$B_n$

— Норберт Шух

@NorbertSchuch Не совсем. Я хочу иметь возможность сказать: «Я придумал набор соединений, которые достигают протокола с определенным масштабированием. Известно, что этот протокол ограничен границами Либа-Робинсона. Насколько я близок к насыщению этого ограничения?» в качестве меры, насколько быстро мой протокол.

— DaftWullie

@DaftWullie Итак, вы задаетесь вопросом: «Насколько я близок к тому, чтобы быть оптимальным» или «Насколько я близок к какой-то границе (выбирая самую тесную из возможных)»?

— Норберт Шух

@ user1271772 Это правильно.

B (t) = e^{- i H t} B (0) e^{i H t}

$B(t)=e^{-iHt}B(0)e^{iHt}$

— DaftWullie

Позвольте мне сначала ответить на общий вопрос, как получить достаточно узкую скорость Либа-Робинсона (ЛР), когда вы сталкиваетесь с общей моделью локально взаимодействующих решеток, а затем я вернусь к модели 1D XY в вашем вопросе, которая очень особенный, чтобы быть точно решаемым.

Общий метод

Метод получения наиболее плотной границы на сегодняшний день (для общей модели взаимодействия на коротких расстояниях) представлен в Ref1 = arXiv: 1908.03997 . Основная идея состоит в том, что норма неравного временного коммутаторамежду произвольными локальными операторами может быть ограничен сверху решением системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, живущих на графике коммутативности модели. Граф коммутативности, представленный в разделе II A в [1], может быть легко взят из модели гамильтониана и предназначен для отражения коммутационных отношений между различными локальными операторами, представленными в $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ $\hat{H}$ $\hat{H}$ , В трансляционно-инвариантных системах этот набор дифференциальных уравнений может быть легко решен с помощью преобразования Фурье, и верхняя граница скорости LR может быть вычислена из наибольшей собственной частоты с помощью Уравнение (31) из Ref1 . Далее я буду применять этот метод к модели 1D XY в качестве педагогического примера. Для простоты я сосредоточусь на не зависящем от времени и инвариантном переводе случае , (результирующая граница не зависит от знаков $\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$ $|B_n|=B>0$ $|J_n|=J>0$ $B_n,J_n$ ). В случае неинвариантного перевода, зависящего от времени, вы можете либо численно решить дифференциальное уравнение (что является простой вычислительной задачей для систем тысяч сайтов), либо использовать общую верхнюю границу и перейдем к использованию метода, описанного ниже (но это несколько ухудшает герметичность по сравнению с численным методом). $|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$

Сначала нарисуем граф коммутативности, как показано ниже. Каждый оператор в гамильтониане ~ ( , , ) представлен вершиной, и мы связываем две вершины тогда и только тогда, когда соответствующие операторы не коммутируют ( или, в текущем случае, анти-коммутируют). $X_{n}X_{n+1}$ $Y_nY_{n+1}$ $Z_n$
Затем запишите дифференциальные уравнения (10) из Ref1 :
$\begin{array}{rcl} {\dot{\bar{γ}}}_{α, n} & = & J [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n + 1} (t)] + B [{\bar{γ}}_{3, n} (t) + {\bar{γ}}_{3, n + 1} (t)], α = 1, 2, \\ {\dot{\bar{γ}}}_{3, n} & = & J \sum_{α = 1, 2} [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n} (t)] . \end{array}$ $\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$
Преобразуя приведенное выше уравнение Фурье, мы имеем Собственные частоты: . Скорость LR задается уравнением (31) из Ref1 : где
$\frac{d}{d t} (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 J \cos k & 0 & B (1 + e^{i k}) \\ 0 & 2 J \cos k & B (1 + e^{i k}) \\ J (1 + e^{- i k}) & J (1 + e^{- i k}) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) .$ $\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $v_{LR} \leq min_{κ > 0} \frac{ω_{max} (i κ)}{κ} = Z_{\frac{B}{2 J}} J,$ $v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$ $Z_{y} \equiv min_{κ > 0} \frac{\cosh κ + \sqrt{\cosh^{2} κ + 4 y (1 + \cosh κ)}}{κ} .$ $\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$

Примечание. Эта граница расходится, когда , а скорость распространения физической информации остается конечной. Мы можем избавиться от этой проблемы, используя метод в гл. VI из Ref1 . Результатом является в этом пределе, где определяется как решение уравнения . $B/J\to \infty$ $v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$ $\mathcal{X}_y$ $x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$

Скоростные границы для некоторых классических моделей

Вышеуказанный метод является полностью общим. Если вас интересует больше, я перечислил оценки скорости для некоторых классических моделей в следующей таблице, полученные аналогичным образом. Обратите внимание, что скорость LR ограничена сверху наименьшим из всех перечисленных выражений (поэтому в разных областях параметров следует использовать разные выражения). Функция определяется как самый большой корень изВсе параметры предполагаются положительными (просто примите абсолютное значение для отрицательных случаев). $v_{\text{LR}}$ $F(J_x,J_y,J_z)$ $x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

\begin{array}{cl} Model & v_{LR} \\ d -dimensional TFIM & 2 X_{0} \sqrt{d J h} = 3.02 \sqrt{d J h} \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩} X_{m} X_{n} + h \sum_{n} Z_{n} & 4 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 8.93 d J \\ 4 X_{0} d h = 6.04 d h \\ d -dimensional Fermi-Hubbard & 2 X_{\frac{3 U}{4 d J}} d J \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩, s =↑, ↓} (a_{m, s}^{†} a_{n, s} + H . c .) & 8 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 17.9 d J \\ + U \sum_{n} a_{n ↑}^{†} a_{n ↑} a_{n ↓}^{†} a_{n ↓} & Z_{U / J} J (d = 1) \\ 1D Heisenberg XYZ & 4 X_{0} F (J_{x}, J_{y}, J_{z}) \\ \hat{H} = \sum_{n} (J_{x} X_{n} X_{n + 1} + J_{y} Y_{n} Y_{n + 1} + J_{z} Z_{n} Z_{n + 1}) & 34.6 max {J_{x}, J_{y}} \end{array}

$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$

Что касается того, насколько хороши эти оценки, я не исследовал в целом, но для 1D TFIM в критической точке точное решение дает , в то время как вышеупомянутая оценка дает . Точно так же в точке FH и гейзенберговской XYZ все вышеуказанные границы больше точного решения на коэффициент . [На самом деле в этих особых точках последние два эквивалентны развязанным цепям TFIM, как можно прямо судить по их графику коммутативности.] $J=h$ $v_{\text{LR}}=2J$ $2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$ $U=0$ $J_x=J_y,J_z=0$ $\mathcal{X}_0\approx 1.50888$

Более жесткая оценка для 1D XY путем сопоставления со свободными фермионами

Теперь поговорим подробнее о модели 1D XY. Как вы заметили, это точно решается путем сопоставления со свободными фермионами: Для общих вам необходимо решить проблему свободных фермионов численно, но позвольте мне упомянуть два частных случая, которые аналитически трактуемы.

\hat{H} = \sum_{n} B_{n} (a_{n}^{†} a_{n} - 1 / 2) + \sum_{n} J_{n} (a_{n}^{†} a_{n + 1} + H . c .) .

$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$

B_{n} (t), J_{n} (t)

$B_n(t),J_n(t)$

$B_n(t)=B,J_n(t)=J$ фиксированы и трансляционно инвариантны. Тогда точное решение: где - функция Бесселя порядка, Таким образом, скорость LR равна .
$\begin{array}{rcl} a_{n} (t) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} {\tilde{a}}_{k} e^{- i 2 J t \cos k} e^{i k x} d k \\ = & \sum_{m} J_{| n - m |} (2 J t) a_{m} (0), \end{array}$ $\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$ $|n-m|$ $\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$
$B_n,J_n$ фиксированы во времени, но абсолютно случайны (подавленный беспорядок). Затем из -за локализации многих тел (или локализации Андерсона на фермионной картине) информация в этой системе не распространяется, поэтому . Более строго, в arXiv: quant-ph / 0703209 для неупорядоченного случая доказана следующая оценка: с замедляющимся логарифмическим световым конусом . $v_{\text{LR}}=0$
$[A_{X} (t), B_{Y} (0)] \leq c o n s t . t e^{- d_{X Y} / ξ},$ $[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$ $d_{XY}=\xi \ln t$

— Lagrenge
источник

Должен ли я вывести из того, что вы говорите, что для каждой модели (включая модели без трансляционной инвариантности) с , скорость равна ?

X Y

$XY$

| J_{n} | \leq J

$|J_n|\leq J$

v_{L R}^{X Y} \leq 2 J

$v_{LR}^{XY}\leq 2J$

— DaftWullie

@DaftWullie Нет, вы можете использовать только общую верхнюю границу для параметров в общем методе, поскольку общий метод всегда дает границу, которая строго не уменьшается в абсолютном значении любого коэффициента. Оценка получается из точного решения со свободным фермионом, в котором вы не можете использовать общую верхнюю оценку для параметров и должны решать ее в каждом конкретном случае. Если трансляционно инвариантен, то вы можете установить в общем методе, так как термин коммутирует с , и получить .

2 J

$2J$

B_{n} (t)

$B_n(t)$

B = 0

$B=0$

B

$B$

\hat{H}

$\hat{H}$

v_{LR} \leq 2 X_{0} J = 3.02 J

$v_{\text{LR}}\leq 2\mathcal{X}_0 J=3.02 J$

— Лагренж

@DaftWullie Уважаемый DaftWullie, если вы считаете, что что-то все еще отсутствует в моем ответе, или какой-то момент все еще неясен, пожалуйста, дайте мне знать.

— Лагренж

ответ выглядит потенциально полезным. У меня еще не было времени взглянуть на вашу газету (может быть, пару недель). Предполагая, что я все понимаю, все в порядке, поэтому я приму ваш ответ.

— DaftWullie