Как ворота реализованы в квантовом компьютере с непрерывной переменной?

Я в основном работал со сверхпроводящими квантовыми компьютерами. Я не очень знаком с экспериментальными деталями фотонных квантовых компьютеров, которые используют фотоны для создания состояний непрерывных переменных кластеров, таких как тот, который строит канадский стартап Xanadu . Как операции с воротами реализуются в этих типах квантовых компьютеров? И что такое универсальные квантовые ворота, установленные в этом случае?

Взяв простой гармонический осциллятор (SHO) с режимом в пространстве (Фока) F = ⨂ k H k , где H k - гильбертово пространство SHO на моде k .$n$$\mathcal F = \bigotimes_k\mathcal H_k$$\mathcal H_k$$k$

Это дает обычному оператору уничтожения , которые действуют на состоянии номера , как в к | п ⟩ = $a_k$дляп≥1ик| 0⟩=0и оператор создания в режимеккакв † к , действуя на состояние номеракак † к | п⟩=$a_k\left|n\right> = \sqrt n\left|n-1\right>$$n\geq 1$$a_k\left|0\right> = 0$$k$$a_k^\dagger$.$a_k^\dagger\left|n\right> = \sqrt{n+1}\left|n+1\right>$

The Hamiltonian of the SHO is $H = \omega\left(a_k^\dagger a_k+\frac 12\right)$ (in units where $\hbar = 1$).

We can then define the quadratures

$$X_k = \frac{1}{\sqrt 2}\left(a_k + a_k^\dagger\right)$$ $$P_k = -\frac{i}{\sqrt 2}\left(a_k - a_k^\dagger\right)$$ $A$ as $\dot A = i\left[H, A\right]$. Applying these for time $t$ gives: $$X:P\mapsto P-t$$ $$P:X\mapsto X+t$$ $$\frac 12\left(X^2 + P^2\right): X\mapsto \cos t X - \sin t P,\, P\mapsto \cos t P + \sin t X,$$ $\omega = 1$ $$\pm S = \pm\frac 12\left(XP+PX\right): X\mapsto e^{\pm t}X,\, P\mapsto e^{\mp t}P,$$ which is known as the squeezing operator, where $+S\,\left(-S\right)$ squeezes $P\,\left(X\right)$.

Any Hamiltonian of the form $aX+bP+c$ can be built by applying $X$ and $P$. Adding $S$ and $H$ allows for any quadratic Hamiltonian to be built. Further adding the (nonlinear) Kerr Hamiltonian

$$\left(X^2 + P^2\right)^2$$ allows for any polynomial Hamiltonian to be created.

Finally, including the beamsplitter operation (on two modes $j$ and $k$)

$$\pm B_{jk} = \pm\left(P_jX_k - X_jP_k\right): A_j\mapsto \cos tA_j + \sin tA_k,\, A_k\mapsto \cos tA_k - \sin tA_j$$ for $A_j = X_j, P_j$ and $A_k = X_k, P_k$, which acts as a beamsplitter on the two modes.

The above operations form the universal gate-set for continuous variable quantum computing. More details can be found in e.g. here

To implement these unitaries:

Applying these operations is generally hinted at in the name: Coupling a current is acting as the displacement operator $D\left(\alpha\left(t\right)\right)$ where, for an electric field $\varepsilon$ and current $j$, $\alpha\left(t\right) = i\int_{t_0}^t\int j\left(r, t'\right)\cdot\varepsilon e^{-i\left(k\cdot r - w_kt'\right)} dr\, dt'$. The displacement operator shifts $X$ by the real part of $\alpha$ and $P$ by the imaginary part of $\alpha$.

A phase shift can be applied by simply letting the system evolve by itself, as the system is a harmonic oscillator. It can also be performed by using a physical phase shifter.

Squeezing is the hard bit and is something that needs to experimentally be improved. Such methods can be found in e.g. here and here is one experiment using a limited amount of squeezed light. One possible way of squeezing is using a Kerr $\left(\chi^{\left(3\right)}\right)$ nonlinearity.

This same nonlinearity also allows for the Kerr Hamiltonian to be implemented.

The Beamsplitter operation is, unsurprisingly, performed using a beamsplitter.