Если все квантовые врата должны быть унитарными, как насчет измерения?

Все квантовые операции должны быть унитарными, чтобы обеспечить обратимость, но как насчет измерения? Измерение может быть представлено в виде матрицы, и эта матрица применяется к кубитам, так что она кажется эквивалентной работе квантовых ворот. Это определенно не обратимо. Существуют ли ситуации, когда могут быть разрешены неунитарные ворота?

Унитарные операции являются лишь частным случаем квантовых операций , которые представляют собой линейные, полностью положительные отображения («каналы»), которые отображают операторы плотности в операторы плотности. Это становится очевидным в представлении канала Крауса,

Однако квантовые вентили являются унитарными, поскольку они реализуются посредством действия гамильтониана в течение определенного времени, что дает эволюцию за единое время в соответствии с уравнением Шредингера.

Краткий ответ

Квантовые операции не должны быть унитарными. Фактически, многие квантовые алгоритмы и протоколы используют неунитарность.

Длинный ответ

Измерения возможно, самый очевидный пример неунитарных переходов , являющихся фундаментальный компонент алгоритмов (в том смысле , что «измерение» эквивалентно выборкой из распределения вероятностей , полученного после операции декогерентности ).$\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

В более общем смысле любой квантовый алгоритм, включающий вероятностные этапы, требует неунитарных операций. Примечательным примером, который приходит на ум, является алгоритм HHL09 для решения линейных систем уравнений (см. 0811.3171 ). Важным шагом в этом алгоритме является отображение , где | λ J ⟩ являются собственными векторами некоторого оператора. Это отображение обязательно вероятностное и потому не унитарное.$|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$$|\lambda_j\rangle$

Любой алгоритм или протокол, который использует (классическую) прямую связь, также использует неунитарные операции. Это весь односторонний протокол квантовых вычислений (который, как следует из названия, требует необратимых операций).

Наиболее заметные схемы для оптических квантовых вычислений с одиночными фотонами также требуют измерений, а иногда и поствыбора, чтобы запутать состояния разных фотонов. Например, протокол KLM создает вероятностные элементы, которые, следовательно, по меньшей мере частично необратимы. Хороший обзор по теме: Quant-Ph / 0512071 .

Менее интуитивно понятные примеры представлены с помощью квантовой инженерии, вызванной диссипацией (например, 1402.0529 или srep10656 ). В этих протоколах используется диссипативная динамика открытой карты, и инженеры взаимодействуют между состоянием и средой таким образом, что долгосрочное стационарное состояние системы является желаемым.

Имея риск перехода от темы к квантовым вычислениям и к физике, я отвечу, как мне кажется, на соответствующий вопрос этой темы, и использую его, чтобы информировать обсуждение унитарных вентилей в квантовых вычислениях.

Здесь возникает вопрос: почему мы хотим унитарности в квантовых воротах?

Менее конкретный ответ, как указано выше, дает нам «обратимость» или, как часто говорят физики, тип симметрии для системы. Я беру курс квантовой механики прямо сейчас, и то , как унитарные ворота всплыли в этом курсе был продиктован желанием иметь физические превращения U : этот акт как симметрии. Это наложены два условия на преобразование U :$\hat{U}$$\hat{U}$

1. Преобразования должны действовать линейно на состояние (это то, что дает нам матричное представление).
2. Преобразования должны сохранять вероятность или, точнее, внутренний продукт . Это означает, что если мы определим:

Сохранение внутренних средств продукта, . Из этой второй спецификации может быть получена унитарность (подробности см. В заметках д-ра ван Раамсдонка здесь ).$\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$

Таким образом, это отвечает на вопрос, почему операции, которые делают вещи «обратимыми», должны быть унитарными.

Вопрос о том, почему само измерение не является унитарным, больше связан с квантовыми вычислениями. Измерение - это проекция на основу; по сути, он должен «отвечать» одним или несколькими базовыми состояниями как само государство. Он также оставляет состояние таким образом, чтобы это соответствовало «ответу» на измерение и не соответствовало основополагающим вероятностям, с которых началось состояние. Таким образом, операция удовлетворяет спецификации 1. нашего преобразования $U$ , но окончательно не удовлетворяет спецификации 2. Не все матрицы созданы равными!

Чтобы округлить вещи назад к квантовым вычислениям, тот факт, что измерения являются деструктивными и проективными (то есть мы можем восстановить суперпозицию только посредством повторных измерений идентичных состояний, а каждое измерение дает нам только ответ 0/1), является частью того, что делает разделение между квантовыми вычислениями и обычными вычислениями неуловимо (и отчасти это трудно объяснить). Можно предположить, что квантовые вычисления более мощны из-за простого размера гильбертова пространства со всеми доступными нам суперпозициями состояний. Но наша способность извлекать эту информацию сильно ограничена.

Насколько я понимаю, это показывает, что для целей хранения информации кубит только хорош, как обычный бит, и не лучше. Но мы можем быть умными в квантовых вычислениях с тем, как информация обменивается, из-за лежащей в основе линейно-алгебраической структуры.

Здесь есть несколько заблуждений, большинство из которых происходят из-за воздействия только чисто государственного формализма квантовой механики, поэтому давайте рассмотрим их один за другим:

1. Все квантовые операции должны быть унитарными, чтобы обеспечить обратимость, но как насчет измерения?

Это неверно В общем, состояния квантовой системы - это не просто векторы в гильбертовом пространстве а матрицы плотности - положительные полуопределенные операторы единичного следа, действующие в гильбертовом пространстве H, т. Е. Ρ : H → H , T r ( ρ ) = 1 и ρ ≥ 0 (обратите внимание, что векторы чистого состояния не являются векторами в гильбертовом пространстве, а являются лучами в комплексном проективном пространстве ; для кубита это равняется гильбертовому пространству, являющемуся C P 1, а не C$\mathcal{H}$ $-$$\mathcal{H}$$\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$$Tr(\rho) = 1$$\rho \geq 0$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}^2$). Матрицы плотности используются для описания статистического ансамбля квантовых состояний.

$\rho^2 = \rho$$\rho^2 < \rho$$\rho^2 = \rho$$|\psi\rangle \in \mathcal{H}$$\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$

$\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$

Now, coming to the OP's claim that all quantum operations are unitary to allow reversibility -- this is just not true. The unitarity of time evolution operator ($e^{-iHt/\hbar}$) in quantum mechanics (for closed system quantum evolution) is simply a consequence of the Schrödinger equation.

However, when we consider density matrices, the most general evolution is a CP-map (or CPTP for a closed system to preserve the trace and hence the probability).

2. Are there any situations where non-unitary gates might be allowed?

Yes. An important example that comes to mind is open quantum systems where Kraus operators (which are not unitary) are the "gates" with which the system evolves.

Note that if there is only a single Kraus operator then, $\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$. But there's only one $i$, therefore, we have, $K^\dagger K = \mathbb{I}$ or, $K$ is unitary. So the system evolves as $\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$ (which is the standard evolution that you may have seen before). However, in general, there are several Kraus operators and therefore the evolution is non-unitary.

Coming to the final point:

3. Measurement can be represented as a matrix, and that matrix is applied to qubits, so that seems equivalent to the operation of a quantum gate. That's definitively not reversible.

In standard quantum mechanics (with wavefunctions etc.), the system's evolution is composed of two parts $-$ a smooth unitary evolution under the system's Hamiltonian and then a sudden quantum jump when a measurement is made $-$ also known as wavefunction collapse. Wavefunction collapses are described as some projection operator say $|\phi\rangle \langle\phi|$ acting on the quantum state $|\psi\rangle$ and the $|\langle\phi|\psi\rangle|^2$ gives us the probability of finding the system in the state $|\phi\rangle$ after the measurement. Since the measurement operator is after all a projector (or as the OP suggests, a matrix), shouldn't it be linear and physically similar to the unitary evolution (also happening via a matrix). This is an interesting question and in my opinion, difficult to answer physically. However, I can shed some light on this mathematically.

If we are working in the modern formalism, then measurements are given by POVM elements; Hermitian positive semidefinite operators, $\{M_{i}\}$ on a Hilbert space $\mathcal{H}$ that sum to the identity operator (on the Hilbert space) $\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$. Therefore, a measurement takes the form

The $\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$ is the probability of the measurement outcome being $M_i$ and is used to renormalize the state to unit trace. Note that the numerator, $\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$ is a linear operation, but the probabilistic dependence on $p_i$ is what brings in the non-linearity or irreversibility.

Edit 1: You might also be interested Stinespring dilation theorem which gives you an isomorphism between a CPTP map and a unitary operation on a larger Hilbert space followed by partial tracing the (tensored) Hilbert space (see 1, 2).

I'll add a small bit complementing the other answers, just about the idea of measurement.

Measurement is usually taken as a postulate of quantum mechanics. There's usually some preceding postulates about hilbert spaces, but following that

• Every measurable physical quantity $A$ is described by an operator $\hat{A}$ acting on a Hilbert space $\mathcal{H}$. This operator is called an observable, and it's eigenvalues are the possibly outcomes of a measurement.
• If a measurement is made of the observable $A$, in the state of the system $\psi$, and the outcome is $a_n$, then the state of the system immediately after measurement is $$\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$$ where $\hat{P}_n$ is the projector onto the eigen-subspace of the eigenvalue $a_n$.

Normally the projection operators themselves should satisfy $\hat{P}^\dagger=\hat{P}$ and $\hat{P}^2=\hat{P}$, which means they themselves are observables by the above postulates, and their eigenvalues $1$ or $0$. Supposing we take one of the $\hat{P}_n$ above, we can interpret the $1,0$ eigenvalues as a binary yes/no answer to whether the observable quantity $a_n$ is available as an outcome of measurement of the state $|\psi\rangle$.

Measurements are unitary operations, too, you just don't see it: A measurement is equivalent to some complicated (quantum) operation that acts not just on the system but also on its environment. If one were to model everything as a quantum system (including the environment), one would have unitary operations all the way.

However, usually there is little point in this because we usually don't know the exact action on the environment and typically don't care. If we consider only the system, then the result is the well-known collapse of the wave function, which is indeed a non-unitary operation.

Quantum states can change in two ways: 1. quantumly, 2. classically.

1. All the state changes taking place quantumly, are unitary. All the quantum gates, quantum errors, etc., are quantum changes.

2. There is no obligation on classical changes to be unitary, e.g. measurement is a classical change.

All the more reason, why it is said that the quantum state is 'disturbed' once it's measured.