( Честность и математическая целостность - учитывая количество голосов по этому «ответу» - заставили меня отредактировать этот ответ. Я задержался как можно дольше, потому что он был задуман как короткое замечание, а не как «глубокий», так что любое объяснение казалось противоречащим цели. Однако комментарии ясно дают понять, что я должен быть ясным, чтобы избежать недоразумений. )
Мой оригинальный ответ:
Формулировка этой части спецификации:
Если это 0, я хочу установить его на 1, иначе установить 0.
подразумевает, что наиболее точным решением является:
v = dirac_delta(0,v)
Во- первых, признание: я сделал , чтобы мои дельта - функции спутать. Дельта Кронекера была бы немного более подходящей, но не намного, поскольку я хотел что-то, что было бы независимым от домена (дельта Кронекера в основном используется только для целых чисел). Но я действительно не должен был использовать дельта-функции вообще, я должен был сказать:
v = characteristic_function({0},v)
Позвольте мне уточнить. Напомним , что функция является тройной, (X, Y, F) , где Х и Y представляют собой наборы ( так называемый домен и кообласть соответственно) и е представляет собой правило , которое присваивает элемент Y к каждому элементу X . Мы часто пишем тройной (X, Y, F) , как F: X → Y . Для некоторого подмножества X , скажем, A , существует характеристическая функция, которая является функцией χ A : X → {0,1}(его также можно рассматривать как функцию для более крупного кодомена, такого как ℕ или ℝ). Эта функция определяется правилом:
χ (х) = 1 , если х ∈ A и χ (х) = 0 , если х ∉ .
Если вам нравятся таблицы истинности, это таблица истинности для вопроса «Является ли элемент x из X элементом подмножества A ?».
Таким образом, из этого определения ясно, что характеристическая функция - это то, что здесь необходимо, с X большим набором, содержащим 0 и A = {0} . Это то, что я должен был написать.
И так с дельта-функциями. Для этого нам нужно знать об интеграции. Либо вы уже это знаете, либо нет. Если вы этого не сделаете, то ничего, что я могу здесь сказать, не расскажет вам о тонкостях теории, но я могу дать краткое изложение одного предложения. Мера на множестве X , в сущности , «то , что нужно , чтобы сделать работу усредняет». То есть, если у нас есть множество X и мера µ на этом множестве, то существует класс функций X → ℝ , называемых измеримыми функциями, для которых выражение ∫ X f dμ имеет смысл и, в некотором неопределенном смысле, «среднее» из F над X .
Учитывая меру в наборе, можно определить «меру» для подмножеств этого набора. Это делается путем присвоения подмножеству интеграла его характеристической функции (при условии, что это измеримая функция). Это может быть бесконечным или неопределенным (два слегка различаются).
Есть много мер вокруг, но есть два, которые здесь важны. Одним из них является стандартная мера на реальной линии, ℝ. Для этой меры тогда ∫ ℝ f dμ - это почти то, чему вас учат в школе (исчисление все еще преподают в школах?): Суммируйте маленькие прямоугольники и выбирайте все меньшую и меньшую ширину. В этой мере мерой интервала является его ширина. Мера точки равна 0.
Другая важная мера, которая работает на любом множестве, называется точечной мерой . Он определяется так, что интеграл функции является суммой ее значений:
∫ X f dμ = ∑ x ∈ X f (x)
Эта мера назначает каждому одноэлементному набору меру 1. Это означает, что подмножество имеет конечную меру тогда и только тогда, когда оно само является конечным. И очень немногие функции имеют конечный интеграл. Если функция имеет конечный интеграл, она должна быть ненулевой только на счетном количестве точек. Таким образом, подавляющее большинство функций, которые вы, вероятно, знаете, не имеют конечного интеграла по этой мере.
А теперь к дельта-функциям. Давайте возьмем очень широкое определение. У нас есть измеримое пространство (X, μ) (так что это множество с мерой на нем) и элемент ∈ X . Мы «определяем» дельта-функцию (в зависимости от a ) как «функцию» δ a : X → ℝ со свойством δ a (x) = 0, если x x a и ∫ X δ a dμ = 1 .
Самый важный факт, который можно использовать для этого, заключается в следующем: дельта-функция не обязательно должна быть функцией . Это не правильно определено: Я не сказал , что & delta (а) есть.
Что вы делаете в этот момент, зависит от того, кто вы есть. Мир здесь делится на две категории. Если вы математик, вы говорите следующее:
Итак, дельта-функция не может быть определена. Давайте посмотрим на его гипотетических свойств и посмотреть , если мы сможем найти правильный дом для нее , где она будет определена. Мы можем сделать это, и мы в конечном итоге с распределениями . Это не (обязательно) функции, но вещи, которые ведут себя немного как функции, и часто мы можем работать с ними, как если бы они были функциями; но есть определенные вещи, которых у них нет (например, «ценности»), поэтому мы должны быть осторожны.
Если вы не математик, вы говорите следующее:
Итак, дельта-функция может быть неправильно определена. Кто так говорит? Куча математиков? Игнорируй их! Что они знают?
Обидев теперь мою аудиторию, я продолжу.
Дираковская дельта обычно берется дельта - функция точки (часто 0) в реальном соответствии со своей стандартной мерой. Так что те, кто жалуется в комментариях о том, что я не знаю моих дельт, делают это, потому что они используют это определение. Я приношу им свои извинения: хотя я могу выкрутиться из этого, используя защиту Математика (популяризируемую Шалтай-Болтай : просто переопределить все так, чтобы она была правильной), использование стандартного термина для обозначения чего-то другого - это плохая форма.
Но есть дельта - функция , которая делает то , что я хочу, чтобы это сделать , и это то , что мне нужно здесь. Если взять меру точки на множество X , то есть является подлинной функция δ в : X → ℝ , которая удовлетворяет критерии для дельта - функции. Это потому, что мы ищем функцию X → ℝ, которая равна нулю за исключением a и такая, что сумма всех ее значений равна 1. Такая функция проста: единственная недостающая часть информации - это ее значение в a , и чтобы получить сумму, равную 1, мы просто присваиваем ей значение 1. Это не что иное, как характеристическая функция на {a} . Затем:
∫ X δ дМ = Σ х ∈ X , δ (х) = δ (а) = 1.
Таким образом, в этом случае для одноэлементного множества характеристическая функция и дельта-функция совпадают.
В заключение, здесь есть три семейства «функций»:
- Характеристические функции одноэлементных множеств,
- Дельта-функции,
- Дельта-функции Кронекера.
Второй из них является наиболее общим , как любой из других является примером этого при использовании измерения точки. Но первое и третье имеют то преимущество, что они всегда являются подлинными функциями. Третий фактически является частным случаем первого для определенного семейства доменов (целых чисел или некоторого их подмножества).
Таким образом, в конце концов, когда я первоначально написал ответ , который я не думая , правильно (я бы не пошел так далеко, чтобы сказать , что я был смущен , как я надеюсь , что я только что показал , я действительно знаю , что я говорю о том, когда Я действительно сначала думаю, я просто не очень много думал). Обычное значение дельты Дирака здесь не то, что нужно, но один из пунктов моего ответа заключался в том, что входная область не была определена, поэтому дельта Кронекера также была бы неправильной. Таким образом, лучшим математическим ответом (к которому я стремился) была бы характеристическая функция.
Я надеюсь, что это все ясно; и я также надеюсь, что мне больше никогда не придется писать математическую часть, используя объекты HTML вместо макросов TeX!