Вычисление вложенного корня в C

Меня попросили вычислить следующее вложенное корневое выражение, используя только рекурсию .

Я написал код ниже, который работает, но они позволили нам использовать только одну функцию и 1 вход nдля цели, а не 2, как я использовал. Может кто-нибудь помочь мне преобразовать этот код в одну функцию, которая будет вычислять выражение? Нельзя использовать любую библиотеку, кроме функций из <math.h>.

выход для n = 10: 1.757932

double rec_sqrt_series(int n, int m) {
    if (n <= 0)
        return 0;
    if (m > n)
        return 0;
    return sqrt(m + rec_sqrt_series(n, m + 1));
}

double helper(int n) {
    return rec_sqrt_series(n, 1);
}

Используйте старшие биты nв качестве счетчика:

double rec_sqrt_series(int n)
{
    static const int R = 0x10000;
    return n/R < n%R ? sqrt(n/R+1 + rec_sqrt_series(n+R)) : 0;
}

Естественно, что неисправности , когда начальная nявляется Rили больше. Вот более сложная версия, которая работает для любого положительного значения n. Оно работает:

• Когда nоно отрицательное, оно работает как вышеприведенная версия, используя верхние биты для подсчета.
• Когда nположительный, если он меньше R, он вызывает себя -nдля оценки функции, как указано выше. В противном случае он вызывает себя с R-1отрицанием. Это оценивает функцию, как если бы она была вызвана с R-1. Это дает правильный результат, потому что ряд перестает изменяться в формате с плавающей запятой после нескольких десятков итераций - квадратные корни более глубоких чисел настолько разбавляются, что не имеют никакого эффекта. Таким образом, функция имеет одинаковое значение для всего nнебольшого порога.

double rec_sqrt_series(int n)
{
    static const int R = 0x100;
    return
        0 < n ? n < R ? rec_sqrt_series(-n) : rec_sqrt_series(1-R)
              : n/R > n%R ? sqrt(-n/R+1 + rec_sqrt_series(n-R)) : 0;
}

Без математического преобразования формулы (я не знаю, возможно ли это), вы не сможете по-настоящему использовать только один параметр, так как для каждого элемента вам нужны две информации: текущий шаг и оригинал n. Однако вы можете обмануть . Одним из способов является кодирование двух чисел в intпараметре (как показано Эриком ).

Другой способ - сохранить оригинал nв статической локальной переменной. При первом вызове, который мы сохраняем nв этой статической переменной, мы запускаем рекурсию и на последнем шаге сбрасываем ее в значение Sentinel:

// fn(i) = sqrt(n + 1 - i + fn(i - 1))
// fn(1) = sqrt(n)
//
// note: has global state
double f(int i)
{
    static const int sentinel = -1;
    static int n = sentinel;

    // outside call
    if (n == sentinel)
    {
        n = i;
        return f(n);
    }

    // last step
    if (i == 1)
    {
        double r = sqrt(n);
        n = sentinel;
        return r;
    }

    return sqrt(n + 1 - i + f(i - 1));
}

Очевидно, static int n = sentinelэто не стандартный C, потому что sentinelне является постоянной времени компиляции в C (это странно, потому что и gcc, и clang не жалуются, даже с -pedantic)

Вы можете сделать это вместо этого:

enum Special { Sentinel = -1 };
static int n = Sentinel;

Эта проблема требует искаженных решений.

Вот тот, который использует одну функцию, принимающую один или два intаргумента:

• если первый аргумент положительный, он вычисляет выражение для этого значения
• если первый аргумент отрицателен, он должен сопровождаться вторым аргументом и выполняет один шаг в вычислении, повторяющийся для предыдущего шага.
• он использует то, <stdarg.h>что может или не может быть разрешено.

Вот код:

#include <math.h>
#include <stdarg.h>

double rec_sqrt_series(int n, ...) {
    if (n < 0) {
        va_arg ap;
        va_start(ap, n);
        int m = va_arg(ap, int);
        va_end(ap);
        if (m > -n) {
            return 0.0;
        } else {
            return sqrt(m + rec_sqrt_series(n, m + 1));
        }
    } else {
        return rec_sqrt_series(-n, 1);
    }
}

Вот еще одно решение с одной функцией, использующее только <math.h>, но нарушающее правила другим способом: использование макроса.

#include <math.h>

#define rec_sqrt_series(n)  (rec_sqrt_series)(n, 1)
double (rec_sqrt_series)(int n, int m) {
    if (m > n) {
        return 0.0;
    } else {
        return sqrt(m + (rec_sqrt_series)(n, m + 1));
    }
}

Еще один, строго говоря, рекурсивный , но с одним уровнем рекурсии и без других уловок. Как прокомментировал Эрик , он использует forцикл, который может быть недопустимым при ограничениях OP:

double rec_sqrt_series(int n) {
    if (n > 0) {
        return rec_sqrt_series(-n);
    } else {
        double x = 0.0;
        for (int i = -n; i > 0; i--) {
            x = sqrt(i + x);
        }
        return x;
    }
}

Вот другой подход.

Это полагается на то, intчтобы быть 32 битами. Идея состоит в том, чтобы использовать верхний 32-разрядный 64-разрядный intдля

1) Проверьте, был ли вызов рекурсивным (или вызовом извне)

2) Сохранить целевое значение в старших 32 битах во время рекурсии

// Calling convention:
// when calling this function 'n' must be a positive 32 bit integer value
// If 'n' is zero or less than zero the function have undefined behavior
double rec_sqrt_series(uint64_t n)
{
  if ((n >> 32) == 0)
  {
    // Not called by a recursive call
    // so start the recursion
    return rec_sqrt_series((n << 32) + 1);
  }

  // Called by a recursive call

  uint64_t rn = n & 0xffffffffU;

  if (rn == (n >> 32)) return sqrt(rn);      // Done - target reached

  return sqrt (rn + rec_sqrt_series(n+1));   // Do the recursive call
}