Равноиндексированные индуктивные типы подразумевают равные индексы

Давайте fooиндексировать индуктивный тип x : X.

Parameter X : Type.

Inductive foo : X -> Type :=
| constr : forall (x : X), foo x.

Мне любопытно, если foo x = foo yподразумевается x = y. У меня нет идей, как это доказать.

Lemma type_equality_implies_index_equality : forall (x y : X), foo x = foo y -> x = y.

Если это невозможно доказать, почему?

Это не может быть доказано. Рассмотрим следующий частный случай теоремы, когда мы устанавливаем X := bool:

foo true = foo false -> true = false

Учитывая, что trueи falseотличаются, если теорема доказуема, должно быть возможно показать, что foo trueи foo falseотличаются. Проблема в том, что эти два типа изоморфны :

Inductive foo : bool -> Type :=
| constr : forall (x : bool), foo x.

(* An isomorphism between foo true and foo false *)
Definition foo_t_f (x : foo true) : foo false := constr false.
Definition foo_f_t (x : foo false) : foo true := constr true.

(* Proofs that the functions are inverses of each other *)
Lemma foo_t_fK x : foo_f_t (foo_t_f x) = x.
Proof. unfold foo_f_t, foo_t_f. now destruct x. Qed.

Lemma foo_f_tK x : foo_t_f (foo_f_t x) = x.
Proof. unfold foo_f_t, foo_t_f. now destruct x. Qed.

В теории Кока невозможно показать, что два изоморфных типа различны без допущения дополнительных аксиом. Вот почему такое расширение теории Кока, как теория гомотопического типа, является обоснованным. В HoTT можно показать, что изоморфные типы равны, и если бы можно было доказать вашу теорему, HoTT был бы несовместимым.