Механически принятый ответ, конечно, правильный, но я бы сказал, что можно дать более глубокий ответ.
Во-первых, полезно прояснить вопрос, как это делает @PeterCordes в комментарии: «Есть ли мультипликативное тождество для комплексных чисел, которое работает с inf + 0j?» или, другими словами, это то, что OP видит слабость в компьютерной реализации сложного умножения, или есть что-то концептуально несостоятельное сinf+0j
Короткий ответ:
Используя полярные координаты, мы можем рассматривать комплексное умножение как масштабирование и вращение. Вращая бесконечную «руку» даже на 0 градусов, как в случае умножения на единицу, мы не можем ожидать, что ее кончик будет размещен с конечной точностью. Так что действительно есть кое-что принципиально неправильное inf+0j, а именно то, что, как только мы находимся на бесконечности, конечное смещение становится бессмысленным.
Длинный ответ:
Предыстория: «Большое дело», вокруг которого вращается этот вопрос, - это вопрос расширения системы чисел (например, действительные или комплексные числа). Одна из причин, по которой кто-то может захотеть это сделать, состоит в том, чтобы добавить некую концепцию бесконечности или «компактифицировать», если кто-то оказывается математиком. Есть и другие причины ( https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory , https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis ), но они здесь нас не интересуют.
Компактификация в одну точку
Сложность такого расширения, конечно же, заключается в том, что мы хотим, чтобы эти новые числа вписывались в существующую арифметику. Самый простой способ - добавить один элемент на бесконечности ( https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandroff_extension ) и сделать его равным чему угодно, кроме нуля, деленного на ноль. Это работает для вещественных чисел ( https://en.wikipedia.org/wiki/Projectively_extended_real_line ) и комплексных чисел ( https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere ).
Другие расширения ...
В то время как компактификация в одну точку проста и математически обоснована, велись поиски "более богатых" расширений, включающих несколько бесконечностей. Стандарт IEEE 754 для вещественных чисел с плавающей запятой имеет + inf и -inf ( https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line ). Выглядит естественно и просто, но уже заставляет нас прыгать через обручи и изобретать такие вещи, как -0 https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_zero
... комплексной плоскости
А как насчет более чем одного бесконечного расширения комплексной плоскости?
В компьютерах комплексные числа обычно реализуются путем склеивания двух вещественных чисел, одно для действительной, а другое для мнимой части. Это прекрасно, пока все конечно. Однако, как только бесконечности начинают рассматривать, все становится непросто.
Комплексная плоскость имеет естественную симметрию вращения, которая хорошо согласуется со сложной арифметикой, поскольку умножение всей плоскости на e ^ phij - это то же самое, что вращение вокруг фи радиана 0.
Это приложение G
Теперь, чтобы не усложнять задачу, сложный fp просто использует расширения (+/- inf, nan и т. Д.) Базовой реализации действительного числа. Этот выбор может показаться настолько естественным, что даже не воспринимается как выбор, но давайте подробнее рассмотрим, что он подразумевает. Простая визуализация этого расширения комплексной плоскости выглядит так (I = бесконечность, f = конечная, 0 = 0)
I IIIIIIIII I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I IIIIIIIII I
Но поскольку настоящая комплексная плоскость - это плоскость, которая учитывает комплексное умножение, более информативной проекцией будет
III
I I
fffff
fffffff
fffffffff
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
fffffffff
fffffff
fffff
I I
III
В этой проекции мы видим «неравномерное распределение» бесконечностей, которое не только уродливо, но и является корнем проблем типа OP: большинство бесконечностей (тех, которые имеют формы (+/- inf, конечный) и (конечный, + / -inf) объединены в четырех основных направлениях, все остальные направления представлены всего четырьмя бесконечностями (+/- inf, + -inf). Неудивительно, что распространение комплексного умножения на эту геометрию - кошмар. .
Приложение G спецификации C99 изо всех сил пытается заставить его работать, включая изменение правил того, как infи nanвзаимодействовать (по сути, это infкозыри nan). Проблема OP обходится тем, что не превращает действительные числа и предложенный чисто воображаемый тип в сложный, но то, что реальный 1 ведет себя иначе, чем комплексный 1, мне не кажется решением. Что характерно, Приложение G не дает полного определения того, каким должно быть произведение двух бесконечностей.
Можем ли мы сделать лучше?
Заманчиво попытаться решить эти проблемы, выбрав лучшую геометрию бесконечностей. По аналогии с расширенной реальной линией мы можем добавить по одной бесконечности для каждого направления. Эта конструкция похожа на проективную плоскость, но не объединяет противоположные направления. Бесконечности будут представлены в полярных координатах inf xe ^ {2 omega pi i}, определение произведений будет простым. В частности, вполне естественно решилась бы проблема ОП.
Но на этом хорошие новости заканчиваются. В каком-то смысле нас может отбросить назад, если - небезосновательно - потребовать, чтобы бесконечности нашего нового стиля поддерживали функции, извлекающие их действительные или мнимые части. Дополнение - еще одна проблема; добавляя две неантиподальные бесконечности, мы должны были бы установить угол равным undefined, т.е. nan(можно было бы утверждать, что угол должен лежать между двумя входными углами, но нет простого способа представить эту "частичную наночастицу")
Риман спешит на помощь
В свете всего этого, возможно, самая безопасная вещь - старая добрая компактификация по одной точке. Возможно, авторы Приложения G чувствовали то же самое, когда предписывали функцию cproj, объединяющую все бесконечности.
Вот связанный с этим вопрос, на который отвечают люди более компетентные в предмете, чем я.
