Какое первое целое число, которое IEEE 754 не может точно представить?

164

Для ясности, если я использую язык, который реализует плавающие объекты IEE 754, и я объявляю:

float f0 = 0.f;
float f1 = 1.f;

... а затем распечатать их обратно, я получу 0,0000 и 1,0000 - точно.

Но IEEE 754 не способен представлять все числа вдоль реальной линии. Близко к нулю, «пробелы» малы; по мере того как вы уходите дальше, промежутки увеличиваются.

Итак, мой вопрос: для числа с плавающей запятой IEEE 754, какое первое (ближайшее к нулю) целое число не может быть точно представлено? На данный момент меня интересуют только 32-битные числа с плавающей запятой, хотя мне было бы интересно услышать ответ на 64-битную версию, если кто-то ее даст!

Я думал, что это будет так же просто, как вычислить 2 ^{bits_of_mantissa} и добавить 1, где bits_of_mantissa - это количество битов, которое предоставляет стандарт. Я сделал это для 32-разрядных операций с плавающей запятой на моей машине (MSVC ++, Win64), и все выглядело нормально.

types floating-point ieee-754

— Floomi
источник

Зачем вы добавили один, если вы хотели непредставительный номер? А какой номер ты использовал или получил? И это домашнее задание? И в заголовке вашего вопроса написано "целое число", а в вашем вопросе - "плавать".

— 2010 г.

Потому что я полагал, что максимальная мантисса даст мне наибольшее представимое число. 2 ^ 22. Нет, это вопрос любопытства. Я всегда чувствовал себя виноватым, помещая ints в float, даже когда я знаю, что рассматриваемый int всегда будет очень маленьким. Я хочу знать, каков верхний предел. Насколько я могу судить, заголовок и вопрос одинаковы, просто сформулированы по-разному.

— Флуми

Возможный дубликат Каков первый дубль, который отклоняется от соответствующего длинного на дельту?

— Эндрю Мао

дубликат stackoverflow.com/questions/1848700/… ?

— ФрэнкХ.

@KyleStrand вернулся ^ 2. Я не знаю, почему один показался мне более правильным, чем другой в то время. Теперь они оба кажутся неловкими по сравнению с «… это число бит…»

— Паскаль Куок

Ответы:

211

2 ^{биты мантиссы + 1} + 1

+1 в показателе степени (биты мантиссы + 1) объясняется тем, что, если мантисса содержит abcdef...число, которое она представляет, фактически 1.abcdef... × 2^eобеспечивает дополнительный неявный бит точности.

Следовательно, первое целое число, которое не может быть точно представлено и будет округлено:
For float, 16 777 217 (2 ²⁴ + 1).
За 9 double007 199 254 740 993 (2 ⁵³ + 1).

>>> 9007199254740993.0
9007199254740992

— kennytm
источник

Я объявил floatи установил его равным 16 777 217. Но когда я распечатал его с помощью, coutэто привело к 16 777 216. Я использую C++. Почему я не могу получить 16 777 217?

— нитрат натрия

@sodiumnitrate Проверьте название вопроса. 16777217 - первое целое число, которое не может быть точно представлено.

— Kennytm

Хорошо, спасибо. Я запутался, извините за это. У меня есть еще один вопрос: после 16777216 не должно ли следующее целое число, которое представимо, быть 2 * 16777216? Когда я запускаю аналогичную программу, я получаю 16777218, добавляя 2 к 16777126.

— Нитрат натрия

Следующее целое число действительно 16777218, потому что теперь 2 становится последней значащей двоичной цифрой.

— Кеннитм

В C ++, это (1 << std::numeric_limits<float>::digits) + 1, и в C, (1 << FLT_MANT_DIG) + 1. Первый вариант хорош тем, что может быть частью шаблона. Не добавляйте +1, если вы просто хотите наибольшее представимое целое число.

— Генри Шрайнер,

Наибольшее значение, представляемое n- битным целым числом, равно 2 ⁿ -1. Как отмечалось выше, значение a floatимеет 24 бита в значении, и это может показаться, что 2 ²⁴ не подходят.

Однако .

Степени 2 в диапазоне показателя в точности представимы как 1,0 × 2 ⁿ , так что 2 ²⁴ может соответствовать, и, следовательно, первое непредставимое целое число для floatравно 2 ²⁴ +1. Как указано выше. Очередной раз.

— так говорил ак
источник

Это ясно объяснило «дополнительный неявный бит точности» другой части. Спасибо.

— chappjc