Являются || и ! операторы достаточны, чтобы сделать каждое возможное логическое выражение?

Логическое выражение ( a && b ) (оба aи bимеют логические значения) может быть написано !(!a || !b), например, как. Разве это не значит, что &&это «ненужное»? Означает ли это, что все логические выражения могут быть сделаны только с использованием ||и !?

Да, как указывалось в других ответах, набор операторов состоит из ||и !является функционально полным . Вот конструктивное доказательство этого, показывающее, как использовать их для выражения всех шестнадцати возможных логических связок между булевыми переменными Aи B:

• Правда :A || !A
• A NAND B :!A || !B
• Б подразумевает А :!B || A
• А подразумевает Б :!A || B
• А ИЛИ Б :A || B
• Не B :!B
• Не А :!A
• A XOR B :!(!A || B) || !(A || !B)
• A XNOR B :!(!A || !B) || !(A || B)
• A :A
• B :B
• A NOR B :!(A || B)
• A не подразумевает B :!(!A || B)
• B не подразумевает A :!(!B || A)
• А И Б :!(!A || !B)
• Ложь :!(A || !A)

Обратите внимание, что и NAND, и NOR сами по себе функционально завершены (что можно доказать с помощью того же метода, что и выше), поэтому, если вы хотите проверить, что набор операторов функционально завершен, достаточно показать, что вы можете выразить либо NAND, либо NOR с этим.

Вот график, показывающий диаграммы Венна для каждого из перечисленных выше соединительных элементов:

[ источник ]

То, что вы описываете, является функциональной полнотой .

Это описывает набор логических операторов, достаточных для «выражения всех возможных таблиц истинности». Ваш набор операторов Java { ||, !} достаточен; оно соответствует набору {∨, ¬}, указанному в разделе «Минимальные функционально полные операторные множества».

Набор всех таблиц истинности означает все возможные наборы из 4 логических значений, которые могут быть результатом операции между 2 логическими значениями. Поскольку для логического значения есть 2 возможных значения, существует 2 ⁴ или 16 возможных таблиц истинности.

A B | 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
----+------------------------------------------------
T T | T  T  T  T  T  T  T  T  F  F  F  F  F  F  F  F
T F | T  T  T  T  F  F  F  F  T  T  T  T  F  F  F  F
F T | T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F 
F F | T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F

Ниже приведена таблица из чисел таблицы истинности (0-15), то ||и !комбинаций , которые дают его, и описание.

Table  |  Operation(s)                    | Description
-------+----------------------------------+-------------
  0    | A || !A                          | TRUE
  1    | A || B                           | OR
  2    | A || !B                          | B IMPLIES A
  3    | A                                | A
  4    | !A || B                          | A IMPLIES B
  5    | B                                | B
  6    | !(!A || !B) || !(A || B)         | XNOR (equals)
  7    | !(!A || !B)                      | AND
  8    | !A || !B                         | NAND
  9    | !(A || !B) || !(!A || B)         | XOR
 10    | !B                               | NOT B
 11    | !(!A || B)                       | NOT A IMPLIES B
 12    | !A                               | NOT A
 13    | !(A || !B)                       | NOT B IMPLIES A
 14    | !(A || B)                        | NOR
 15    | !(A || !A)                       | FALSE

Существует множество других таких функционально полных наборов, включая наборы одного элемента {NAND} и {NOR}, которые не имеют соответствующих отдельных операторов в Java.

Да.

Все логические ворота могут быть сделаны из ворот NOR.

Поскольку ворота NOR могут быть сделаны из NOT и OR, результат следует.

Потратьте время, чтобы прочитать законы DeMorgan, если вы можете.

Вы найдете ответ в чтении там, а также ссылки на логические доказательства.

Но по сути, ответ - да.

РЕДАКТИРОВАТЬ : Для ясности, моя точка зрения заключается в том, что можно логически вывести выражение ИЛИ из выражения И, и наоборот. Есть и другие законы для логической эквивалентности и умозаключения, но я думаю, что это самое подходящее.

РЕДАКТИРОВАТЬ 2 : Вот доказательство через таблицу истинности, показывающее логическую эквивалентность следующего выражения.

Закон Деморгана: !(!A || !B) -> A && B

 _____________________________________________________
| A | Б | ! A | ! B | ! A || ! B | ! (! A ||! B) | A && B |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
_______________________________________________________

NAND и NOR универсальны, их можно использовать для построения любой логической операции, которую вы хотите где угодно; другие операторы доступны на языках программирования, что упрощает написание и создание читаемых кодов.

Кроме того, все логические операции, которые необходимо встроить в схему, также разрабатываются с использованием микросхем NAND или только NOR.

Да, согласно булевой алгебре, любая булева функция может быть выражена как сумма минтермов или произведение макротерм, которое называется канонической нормальной формой . Нет причин, по которым такую ​​логику нельзя было бы применить к тем же операторам, которые используются в информатике.

https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_normal_form