Какие самые интересные эквивалентности возникают из изоморфизма Карри-Ховарда?

Я столкнулся с изоморфизмом Карри-Ховарда относительно поздно в моей жизни программирования, и, возможно, это способствует тому, что я полностью им очарован. Это означает, что для каждой концепции программирования существует точный аналог в формальной логике, и наоборот. Вот "базовый" список таких аналогий, невдомек:

program/definition        | proof
type/declaration          | proposition
inhabited type            | theorem/lemma
function                  | implication
function argument         | hypothesis/antecedent
function result           | conclusion/consequent
function application      | modus ponens
recursion                 | induction
identity function         | tautology
non-terminating function  | absurdity/contradiction
tuple                     | conjunction (and)
disjoint union            | disjunction (or)          -- corrected by Antal S-Z
parametric polymorphism   | universal quantification

Итак, на мой вопрос: каковы некоторые из наиболее интересных / неясных последствий этого изоморфизма? Я не логик, поэтому уверен, что этим списком я лишь поверхностно коснулся.

Например, вот некоторые понятия программирования, для которых я не знаю содержательных названий в логике:

currying                  | "((a & b) => c) iff (a => (b => c))"
scope                     | "known theory + hypotheses"

А вот несколько логических концепций, которые я не совсем понял в терминах программирования:

primitive type?           | axiom
set of valid programs?    | theory

Редактировать:

Вот еще несколько эквивалентностей, собранных из ответов:

function composition      | syllogism                -- from Apocalisp
continuation-passing      | double negation          -- from camccann

Поскольку вы явно просили самые интересные и непонятные:

Вы можете расширить CH на множество интересных логик и формулировок логик, чтобы получить действительно широкий спектр соответствий. Здесь я попытался сосредоточиться на некоторых из наиболее интересных, а не на малоизвестных, а также на паре фундаментальных, которые еще не возникли.

evaluation             | proof normalisation/cut-elimination
variable               | assumption
S K combinators        | axiomatic formulation of logic   
pattern matching       | left-sequent rules 
subtyping              | implicit entailment (not reflected in expressions)
intersection types     | implicit conjunction
union types            | implicit disjunction
open code              | temporal next
closed code            | necessity
effects                | possibility
reachable state        | possible world
monadic metalanguage   | lax logic
non-termination        | truth in an unobservable possible world
distributed programs   | modal logic S5/Hybrid logic
meta variables         | modal assumptions
explicit substitutions | contextual modal necessity
pi-calculus            | linear logic

РЕДАКТИРОВАТЬ: Ссылка, которую я рекомендую всем, кто хочет узнать больше о расширениях CH:

«Судебная реконструкция модальной логики» http://www.cs.cmu.edu/~fp/papers/mscs00.pdf - это отличное место для начала, потому что оно начинается с первых принципов, и большая часть из них нацелена на то, чтобы доступный для нелогиков / теоретиков языка. (Хотя я второй автор, поэтому я пристрастен.)

Вы немного путаете насчет непреодолимости. Ложь представлена необитаемыми типами , которые по определению не могут быть бесконечными, потому что в первую очередь нет ничего такого, что нужно было бы оценить.

Непрерывность представляет собой противоречие - противоречивую логику. Непоследовательная логика, конечно, позволит вам доказать все , что угодно , в том числе и ложь.

Игнорируя несоответствия, системы типов обычно соответствуют интуиционистской логике и по необходимости являются конструктивистскими , что означает, что некоторые части классической логики не могут быть выражены напрямую, если вообще могут быть выражены. С другой стороны, это полезно, потому что если тип является допустимым конструктивным доказательством, то термин этого типа является средством конструирования того, что вы доказали существование .

Главная особенность конструктивистского духа состоит в том, что двойное отрицание не эквивалентно неотрицанию. Фактически, отрицание редко является примитивом в системе типов, поэтому вместо этого мы можем представить его как подразумевающую ложь, например, not Pстановится P -> Falsity. Таким образом, двойное отрицание было бы функцией с типом (P -> Falsity) -> Falsity, которая явно не эквивалентна чему-то просто типу P.

Однако в этом есть интересный поворот! В языке с параметрическим полиморфизмом переменные типа охватывают все возможные типы, включая необитаемые, так что полностью полиморфный тип, такой как ∀a. aв некотором смысле, почти ложен. Так что, если мы напишем двойное почти отрицание с помощью полиморфизма? Мы получаем тип , который выглядит следующим образом : ∀a. (P -> a) -> a. Это что-то вроде типа P? Действительно , просто примените его к функции идентичности.

Но в чем смысл? Зачем писать такой шрифт? Означает ли это что- нибудь с точки зрения программирования? Что ж, вы можете думать об этом как о функции, которая где-то уже имеет что-то типа Pи требует, чтобы вы дали ей функцию, которая принимает Pв качестве аргумента, причем все это является полиморфным в конечном типе результата. В некотором смысле он представляет собой приостановленное вычисление , ожидающее выполнения остальных. В этом смысле эти приостановленные вычисления можно составлять вместе, передавать, вызывать и т. Д. Это должно показаться знакомым поклонникам некоторых языков, таких как Scheme или Ruby, потому что это означает, что двойное отрицание соответствует стилю передачи продолжения., и на самом деле тип, который я привел выше, является в точности продолжением монады в Haskell.

Ваш график не совсем правильный; во многих случаях вы путаете типы с терминами.

function type              implication
function                   proof of implication
function argument          proof of hypothesis
function result            proof of conclusion
function application RULE  modus ponens
recursion                  n/a [1]
structural induction       fold (foldr for lists)
mathematical induction     fold for naturals (data N = Z | S N)
identity function          proof of A -> A, for all A
non-terminating function   n/a [2]
tuple                      normal proof of conjunction
sum                        disjunction
n/a [3]                    first-order universal quantification
parametric polymorphism    second-order universal quantification
currying                   (A,B) -> C -||- A -> (B -> C), for all A,B,C
primitive type             axiom
types of typeable terms    theory
function composition       syllogism
substitution               cut rule
value                      normal proof

[1] Логика функционального языка, полного по Тьюрингу, противоречива. Рекурсия не имеет соответствия в непротиворечивых теориях. В противоречивой логике / теории необоснованных доказательств вы могли бы назвать это правилом, которое вызывает несогласованность / несостоятельность.

[2] Опять же, это следствие полноты. Это было бы доказательством анти-теоремы, если бы логика была последовательной - а значит, ее не могло бы быть.

[3] Не существует в функциональных языках, так как они исключают логические особенности первого порядка: вся количественная оценка и параметризация выполняется по формулам. Если бы у вас были функции первого порядка, были бы и другие, чем *, * -> *и т.д .; вид элементов области дискурса. Например, в Father(X,Y) :- Parent(X,Y), Male(X), Xи Yохватывают область дискурса (назовите это Dom), и Male :: Dom -> *.

function composition      | syllogism

Мне очень нравится этот вопрос. Я не очень много знаю, но кое-что у меня есть (чему помогает статья в Википедии , в которой есть несколько изящных таблиц и тому подобное):

1. Я думаю, что типы суммы / типы объединения ( например data Either a b = Left a | Right b ) эквивалентны инклюзивной дизъюнкции. И хотя я не очень хорошо знаком с Карри-Ховардом, я думаю, что это демонстрирует это. Рассмотрим следующую функцию:

   andImpliesOr :: (a,b) -> Either a b
   andImpliesOr (a,_) = Left a
   

   Если я правильно понимаю, тип говорит, что ( a  ∧  b ) → ( a  ★  b ), а определение говорит, что это правда, где ★ либо включающее, либо исключающее, либо, в зависимости от того, что Eitherпредставляет. Вы Eitherпредставляете эксклюзивное или, ⊕; однако ( a  ∧  b ) ↛ ( a  ⊕  b ). Например, ⊤ ∧ ⊤ ≡ ⊤, но ⊤ ⊕ ⊥ ≡ ⊥ и ⊤ ↛ ⊥. Другими словами, если и a, и b верны, тогда гипотеза верна, но вывод неверен, и поэтому это предположение должно быть ложным. Однако ясно, что ( a  ∧  b ) → ( a  ∨ б ), поскольку если и a, и b истинны, то по крайней мере одно истинно. Таким образом, если размеченные союзы являются некоторой формой дизъюнкции, они должны быть инклюзивным разнообразием. Я думаю, что это является доказательством, но не стесняйтесь разубедить меня в этом мнении.

2. Точно так же ваши определения тавтологии и абсурда как функции идентичности и функции без завершения, соответственно, немного ошибочны. Истинная формула представлена типом единицы измерения , который имеет только один элемент ( data ⊤ = ⊤часто пишется по буквам ()и / или Unitв языках функционального программирования). В этом есть смысл: поскольку этот тип гарантированно обитаем, и поскольку существует только один возможный житель, это должно быть правдой. Функция идентичности просто представляет собой особую тавтологию, согласно которой a  →  a .

   Ваш комментарий о непрерывных функциях, в зависимости от того, что именно вы имели в виду, более неуместен. Карри-Ховард работает в системе типов, но незавершение в ней не кодируется. Согласно Википедии , работа с незавершением является проблемой, так как добавление его приводит к противоречивой логике ( например , я могу определить с wrong :: a -> bпомощью wrong x = wrong xи, таким образом, «доказать», что a  →  b для любых a и b ). Если это то, что вы имели в виду под «абсурдом», то вы совершенно правы. Если вместо этого вы имели в виду ложное утверждение, то вместо этого вам нужен любой необитаемый тип, например, что-то определенноеdata ⊥- то есть тип данных без возможности его создания. Это гарантирует, что у него вообще нет значений, и поэтому он должен быть необитаемым, что эквивалентно false. Я думаю, что вы, вероятно, также могли бы использовать a -> b, так как если мы запретим неразрывные функции, то это тоже необитаемо, но я не уверен на 100%.

3. Википедия говорит, что аксиомы кодируются двумя разными способами, в зависимости от того, как вы интерпретируете Карри-Ховарда: либо в комбинаторах, либо в переменных. Я думаю, что представление комбинатора означает, что предоставленные нам примитивные функции кодируют то, что мы можем сказать по умолчанию (аналогично тому, как modus ponens является аксиомой, потому что приложение функции является примитивным). И я думаю, что представление переменных на самом деле может означать то же самое - комбинаторы, в конце концов, - это просто глобальные переменные, которые являются конкретными функциями. Что касается примитивных типов: если я правильно об этом думаю, то я думаю, что примитивные типы - это сущности - примитивные объекты, относительно которых мы пытаемся что-то доказать.

4. Согласно моему классу логики и семантики, тот факт, что ( a  ∧  b ) →  c  ≡  a  → ( b  →  c ) (а также, что b  → ( a  →  c )) называется законом эквивалентности экспорта, по крайней мере, в естественном выводе доказательства. В то время я не заметил, что это просто карри - я бы хотел, потому что это круто!

5. Хотя теперь у нас есть способ представить инклюзивную дизъюнкцию, у нас нет способа представить исключительное разнообразие. Мы должны иметь возможность использовать определение исключительной дизъюнкции для ее представления: a  ⊕  b  ≡ ( a  ∨  b ) ∧ ¬ ( a  ∧  b ). Я не знаю, как писать отрицание, но я знаю, что ¬ p  ≡  p  → ⊥, и и импликация, и ложь - это легко. Таким образом, мы должны иметь возможность представить исключительную дизъюнкцию с помощью:

   data ⊥
   data Xor a b = Xor (Either a b) ((a,b) -> ⊥)
   

   Это определяется ⊥как пустой тип без значений, что соответствует ложности; XorЗатем определяется , чтобы содержать оба ( и ) или б ( или ) и функцию ( Подразумевается ) из (а, б) ( а ) к нижнему типу ( ложной ). Однако я понятия не имею, что это значит . ( Правка 1: Теперь да, см. Следующий абзац!) Поскольку нет значений типа (есть ли?), Я не могу понять, что это будет означать в программе. Кто-нибудь знает, как лучше подумать об этом или другом определении?Either(a,b) -> ⊥ ( Редактировать 1: Да, camccann .)

   Изменить 1: Благодаря ответу camccann (в частности, комментариям, которые он оставил, чтобы помочь мне), я думаю, что вижу, что здесь происходит. Чтобы создать значение типа Xor a b, вам нужно предоставить две вещи. Во-первых, свидетельство существования элемента любого aили bв качестве первого аргумента; то есть a Left aили a Right b. И во-вторых, доказательство того, что нет элементов обоих типов, aи b- другими словами, доказательство (a,b)необитаемости - в качестве второго аргумента. Так как вы только будете в состоянии написать функцию из , (a,b) -> ⊥если (a,b)необитаем, что это значит для того , чтобы быть дело? Это означало бы, что некоторая часть объекта типа(a,b)не мог быть построен; другими словами, что , по меньшей мере , один, и , возможно , оба, aи bнеобитаемые , как хорошо! В этом случае, если мы думаем о сопоставлении с образцом, вы не могли бы найти сопоставление с образцом для такого кортежа: предположим, что bон необитаемый, что бы мы написали, что могло бы соответствовать второй части этого кортежа? Таким образом, мы не можем сопоставить его с шаблоном, что может помочь вам понять, почему это делает его необитаемым. Теперь единственный способ иметь общую функцию, которая не принимает аргументов (как это и должно быть, поскольку (a,b)она необитаема), - это сделать результат также необитаемого типа - если мы думаем об этом с точки зрения сопоставления с образцом, это означает, что даже если у функции нет случаев, нет возможного тела могло быть и то, и другое, так что все в порядке.

Многое из этого я размышляю вслух / доказываю (надеюсь) на лету, но я надеюсь, что это полезно. Я очень рекомендую статью в Википедии ; Я не читал его подробно, но его таблицы - действительно хорошее резюме, и оно очень тщательное.

Вот несколько непонятный вопрос, который, к моему удивлению, не упоминался ранее: «классическое» функциональное реактивное программирование соответствует временной логике.

Конечно, если вы не философ, математик или одержимый функциональным программистом, это, вероятно, поднимет еще несколько вопросов.

Итак, для начала: что такое функциональное реактивное программирование? Это декларативный способ работы со значениями, изменяющимися во времени . Это полезно для написания таких вещей, как пользовательские интерфейсы, потому что вводимые пользователем значения являются значениями, которые меняются со временем. «Классический» FRP имеет два основных типа данных: события и поведение.

События представляют собой значения, которые существуют только в дискретное время. Нажатие клавиш - отличный пример: вы можете думать о вводе с клавиатуры как о символе в данный момент. Каждое нажатие клавиши - это просто пара с символом клавиши и временем ее нажатия.

Поведение - это ценности, которые существуют постоянно, но могут постоянно меняться. Положение мыши - отличный пример: это просто поведение координат x, y. В конце концов, у мыши всегда есть позиция, и концептуально это положение постоянно изменяется при перемещении мыши. В конце концов, перемещение мыши - это единичное длительное действие, а не набор отдельных шагов.

А что такое темпоральная логика? Соответственно, это набор логических правил для работы с предложениями, количественно оцениваемыми с течением времени. По сути, он расширяет нормальную логику первого порядка двумя кванторами: □ и ◇. Первое означает «всегда»: читаем □ φ как «φ всегда выполняется». Второй - «в конце концов»: φ означает, что «в конечном итоге сохранится». Это особый вид модальной логики . Следующие два закона связывают кванторы:

□φ ⇔ ¬◇¬φ
◇φ ⇔ ¬□¬φ

Итак, □ и двойственны друг другу так же, как и ∃.

Эти два квантификатора соответствуют двум типам в FRP. В частности, □ соответствует поведению, а ◇ - событиям. Если мы подумаем о том, как эти типы заселены, это должно иметь смысл: поведение заселяется каждый возможный момент, а событие происходит только один раз.

Связанный с отношениями между продолжениями и двойным отрицанием, тип call / cc - это закон Пирса http://en.wikipedia.org/wiki/Call-with-current-continuation

CH обычно утверждается как соответствие между интуиционистской логикой и программами. Однако, если мы добавим оператор call-with-current-continue (callCC) (тип которого соответствует закону Пирса), мы получим соответствие между классической логикой и программами с callCC.

Хотя это не простой изоморфизм, обсуждение конструктивной LEM является очень интересным результатом. В частности, в заключительном разделе Олег Киселев обсуждает, как использование монад для получения исключения двойного отрицания в конструктивной логике аналогично различению вычислительно разрешимых суждений (для которых LEM действительна в конструктивном контексте) от всех суждений. Представление о том, что монады захватывают вычислительные эффекты, является старым, но этот пример изоморфизма Карри-Ховарда помогает представить его в перспективе и помогает понять, что на самом деле «означает» двойное отрицание.

Первоклассная поддержка продолжений позволяет выразить $ P \ lor \ neg P $. Уловка основана на том факте, что отказ от вызова продолжения и выхода с каким-либо выражением эквивалентен вызову продолжения с тем же выражением.

Более подробную информацию см. На странице http://www.cs.cmu.edu/~rwh/courses/logic/www-old/handouts/callcc.pdf.

2-continuation           | Sheffer stoke
n-continuation language  | Existential graph
Recursion                | Mathematical Induction

Одна вещь, которая важна, но еще не исследована, - это взаимосвязь 2-продолжения (продолжения, которое принимает 2 параметра) и штриха Шеффера . В классической логике штрих Шеффера может сам по себе образовывать полную логическую систему (плюс некоторые неоператорные концепции). Это означает , знакомый and, or, notможет быть реализована с использованием только топить Шеффер или nand.

Это важный факт соответствия типов программирования, поскольку он подсказывает, что комбинатор одного типа может использоваться для формирования всех других типов.

Тип подписи 2-продолжение есть (a,b) -> Void. С помощью этой реализации мы можем определить 1-продолжение (нормальное продолжение) как (a,a)-> Пустота, тип продукта как ((a,b)->Void,(a,b)->Void)->Void, тип суммы как ((a,a)->Void,(b,b)->Void)->Void. Это дает нам впечатляющую силу выразительности.

Если копнуть дальше, мы обнаружим, что экзистенциальный граф Piece эквивалентен языку с единственным типом данных n-продолжение, но я не видел, чтобы какие-либо существующие языки были в этой форме. Думаю, изобрести его может быть интересно.