TextInput должен включать secureTextEntry = {true}, обратите внимание, что в документации React указано, что вы не должны использовать multiline = {true} одновременно, поскольку эта комбинация не поддерживается.
Вы также можете установить textContentType = {'password'}, чтобы поле могло извлекать учетные данные из связки ключей, хранящейся на вашем мобильном телефоне, альтернативный способ ввода учетных данных, если вы получили биометрические данные на своем мобильном телефоне, чтобы быстро вставить учетные данные. Например, FaceId на iPhone X или сенсорный ввод по отпечатку пальца на других моделях iPhone и Android.
<TextInput value={this.state.password} textContentType={'password'} multiline={false} secureTextEntry={true} onChangeText={(text) => { this._savePassword(text); this.setState({ password: text }); }} style={styles.input} placeholder='Github password' />