Многочлены Чебышева, как упоминалось в другом ответе, являются многочленами, где наибольшая разница между функцией и многочленом настолько мала, насколько это возможно. Это отличное начало.
В некоторых случаях максимальная ошибка - это не то, что вас интересует, а максимальная относительная ошибка. Например, для функции синуса ошибка около x = 0 должна быть намного меньше, чем для больших значений; ты хочешь маленький относительную ошибку. Таким образом, вы бы вычислили многочлен Чебышёва для sin x / x и умножили этот многочлен на x.
Затем вы должны выяснить, как оценить полином. Вы хотите оценить его таким образом, чтобы промежуточные значения были небольшими и, следовательно, ошибки округления были небольшими. В противном случае ошибки округления могут стать намного больше, чем ошибки в полиноме. А с такими функциями, как функция синуса, если вы небрежны, то может оказаться, что результат, который вы рассчитываете для sin x, будет больше, чем результат для sin y, даже если x <y. Поэтому необходим тщательный выбор порядка вычисления и вычисления верхних границ для ошибки округления.
Например, sin x = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 ... Если вычислить наивно, грех x = x * (1 - x ^ 2/6 + x ^ 4 / 120 - х ^ 6/5040 ...), то эта функция в скобках уменьшается, и это будет происходить , что если у следующего большего числа х, то иногда грешат у будет меньше , чем грех х. Вместо этого вычислите sin x = x - x ^ 3 * (1/6 - x ^ 2/120 + x ^ 4/5040 ...), где это не может произойти.
При расчете полиномов Чебышева, например, обычно необходимо округлять коэффициенты для удвоения точности. Но хотя полином Чебышева является оптимальным, полином Чебышева с коэффициентами, округленными до двойной точности, не является оптимальным полиномом с коэффициентами двойной точности!
Например, для sin (x), где вам нужны коэффициенты для x, x ^ 3, x ^ 5, x ^ 7 и т. Д., Вы делаете следующее: Вычисляете наилучшее приближение sin x с помощью полинома (ax + bx ^ 3 + cx ^ 5 + dx ^ 7) с более высокой двойной точностью, затем округлите a до двойной точности, давая A. Разница между a и A будет довольно большой. Теперь вычислите наилучшее приближение (sin x - Ax) с полиномом (bx ^ 3 + cx ^ 5 + dx ^ 7). Вы получаете разные коэффициенты, потому что они адаптируются к разнице между a и A. Округлите b до двойной точности B. Затем аппроксимируйте (sin x - Ax - Bx ^ 3) полиномом cx ^ 5 + dx ^ 7 и так далее. Вы получите многочлен, который почти так же хорош, как и исходный полином Чебышева, но намного лучше, чем Чебышев, округленный до двойной точности.
Далее следует учитывать ошибки округления при выборе полинома. Вы нашли полином с минимальной ошибкой в полиноме, игнорирующем ошибку округления, но вы хотите оптимизировать полином плюс ошибка округления. Получив полином Чебышева, вы можете вычислить оценки для ошибки округления. Скажем, f (x) - ваша функция, P (x) - полином, а E (x) - ошибка округления. Вы не хотите оптимизировать | f (x) - P (x) |, вы хотите оптимизировать | f (x) - P (x) +/- E (x) |. Вы получите немного другой полином, который попытается сохранить полиномиальные ошибки там, где ошибка округления велика, и немного ослабит полиномиальные ошибки там, где ошибка округления мала.
Все это позволит вам легко округлять ошибки не более 0,55 раз по сравнению с последним битом, где +, -, *, / имеют ошибки округления не более 0,50 по сравнению с последним битом.
