Являются ли 2 ^ n и n * 2 ^ n одинаковыми по сложности?

Ресурсы, которые я нашел по сложности времени, неясно, когда можно игнорировать термины в уравнении сложности времени, особенно с неполиномиальными примерами.

Для меня ясно, что при условии чего-то вида n ² + n + 1 последние два члена не имеют значения.

В частности, с учетом двух категорий, 2 ⁿ и n * (2 ⁿ ), находится ли второй в том же порядке, что и первый? Имеет ли значение дополнительное n умножение? Обычно ресурсы просто говорят, что x ⁿ находится в экспоненциальной степени и растет намного быстрее ... затем двигаться дальше.

Я могу понять, почему это не так, поскольку 2 ⁿ будет значительно опережать n, но поскольку они не суммируются, это будет иметь большое значение при сравнении двух уравнений, фактически разница между ними всегда будет равна n, что кажется важным по меньшей мере.

Вам придется перейти к формальному определению большой O ( O), чтобы ответить на этот вопрос.

Определение таково, что f(x) принадлежит O(g(x))тогда и только тогда, когда существует предел, т. Е. Не бесконечность. Короче говоря, это означает, что существует постоянная , такая, что значение никогда не бывает больше, чем .limsupx → ∞ (f(x)/g(x))Mf(x)/g(x)M

В случае вашего вопроса пусть и пусть . Тогда это будет расти бесконечно. Поэтому не принадлежитf(n) = n ⋅ 2ng(n) = 2nf(n)/g(n)nf(n)O(g(n)) .

Быстрый способ увидеть, что n⋅2ⁿбольше, - это изменить переменную. Пусть m = 2ⁿ. Тогда n⋅2ⁿ = ( log₂m )⋅m(логарифмирование основанию 2 с обеих сторон m = 2ⁿдает n = log₂m), и вы можете легко показать , что m log₂mрастет быстрее m.

Я согласен, что n⋅2ⁿэто не так O(2ⁿ), но я подумал, что это должно быть более явным, так как ограничение верхнего уровня не всегда имеет место.

По формальному определению Big-O: f(n) есть, O(g(n))если существуют константы c > 0и n₀ ≥ 0такие, которые для всех n ≥ n₀нас есть f(n) ≤ c⋅g(n). Легко показать, что таких констант не существует для f(n) = n⋅2ⁿи g(n) = 2ⁿ. Тем не менее, это может быть показано, что g(n)в O(f(n)).

Другими словами, n⋅2ⁿ ограничен снизу 2ⁿ. Это интуитивно понятно. Хотя они оба экспоненциальны и, следовательно, одинаково маловероятны для использования в большинстве практических обстоятельств, мы не можем сказать, что они одного и того же порядка, потому что 2ⁿобязательно растут медленнее, чем n⋅2ⁿ.

Я не спорю с другими ответами, которые говорят, что n⋅2ⁿрастет быстрее, чем 2ⁿ. Но n⋅2ⁿрастет все еще только экспоненциально.

Когда мы говорим об алгоритмах, мы часто говорим, что сложность времени растет экспоненциально. Таким образом, мы считаем 2ⁿ, 3ⁿ, eⁿ, 2.000001ⁿ, или наш n⋅2ⁿв такой же группе сложности с экспоненциальным растет.

Чтобы придать ему немного математического смысла, мы считаем, что функция f(x)растет (не быстрее) экспоненциально, если существует такая постоянная c > 1, что .f(x) = O(cx)

Для n⋅2ⁿконстанты cможет быть любое число больше, чем 2, давайте возьмем 3. Затем:

n⋅2ⁿ / 3ⁿ = n ⋅ (2/3)ⁿи это меньше, чем 1для любого n.

Так что 2ⁿрастет медленнее, чем n⋅2ⁿпоследний, в свою очередь, растет медленнее, чем 2.000001ⁿ. Но все три из них растут в геометрической прогрессии.

Вы спросили: "Является ли второе в том же порядке, что и первое? Имеет ли значение дополнительное n умножение?" Это два разных вопроса с двумя разными ответами.

n 2 ^ n растет асимптотически быстрее, чем 2 ^ n. Вот на этот вопрос ответили.

Но вы могли бы спросить: «Если алгоритм A занимает 2 ^ n наносекунд, а алгоритм B - n 2 ^ n наносекунд, какой самый большой n, где я могу найти решение за секунду / минуту / час / день / месяц / год? ответы: n = 29/35/41/46/51/54 против 25/30/36/40/45/49. На практике нет большой разницы.

Размер самой большой проблемы, которая может быть решена за время T, составляет O (ln T) в обоих случаях.