наибольшее целое число, которое может быть сохранено в двойном

Какое наибольшее целое число без плавающих может быть сохранено в двойном типе IEEE 754 без потери точности?

Наибольшее / наибольшее целое число, которое может храниться в двойном значении без потери точности, совпадает с наибольшим возможным значением двойного числа. То есть DBL_MAXили примерно 1,8 × 10 ³⁰⁸ (если ваш двойник является 64-битным двойником IEEE 754). Это целое число. Это представлено точно. Что вы еще хотите?

Продолжайте, спросите меня, какое наибольшее целое число такое, чтобы оно и все меньшие целые числа могли быть сохранены в 64-битных двойных числах IEEE без потери точности. 64-битный дубль IEEE имеет 52 бита мантиссы, поэтому я думаю, что это 2 ⁵³ :

• 2 ⁵³ + 1 не может быть сохранено, потому что 1 в начале и 1 в конце имеют слишком много нулей между ними.
• Все, что меньше 2 ⁵³ может быть сохранено, с 52 битами, которые явно хранятся в мантиссе, а затем экспонента дает вам еще один.
• 2 ^53, очевидно, могут быть сохранены, так как это небольшая степень 2.

Или другой способ взглянуть на это: как только смещение было снято с показателя степени, и игнорируя знаковый бит как не относящийся к вопросу, значение, хранимое в double, является степенью 2 плюс 52-битное целое число, умноженное на 2 ^{показатель степени - 52} . Таким образом, с показателем 52 вы можете сохранить все значения от 2 ⁵² до 2 ⁵³  - 1. Затем с показателем 53 следующее число, которое вы можете сохранить после 2 ^53, равно 2 ⁵³ + 1 × 2 ^{53 - 52} . Таким образом, потеря точности сначала происходит с 2 ⁵³ + 1.

9007199254740992 (это 9 007 199 254 740 992) без каких-либо гарантий :)

программа

#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
  double dbl = 0; /* I started with 9007199254000000, a little less than 2^53 */
  while (dbl + 1 != dbl) dbl++;
  printf("%.0f\n", dbl - 1);
  printf("%.0f\n", dbl);
  printf("%.0f\n", dbl + 1);
  return 0;
}

результат

9007199254740991
9007199254740992
9007199254740992

Википедия говорит об этом в том же контексте со ссылкой на IEEE 754 :

В типичной компьютерной системе двоичное число с плавающей запятой двойной точности (64-разрядное) имеет коэффициент 53 бита (один из которых подразумевается), показатель степени 11 бит и один знаковый бит.

2 ^ 53 составляет чуть более 9 * 10 ^ 15.

Наибольшее целое число, которое может быть представлено в двойном (64-разрядном) IEEE 754, совпадает с наибольшим значением, которое может представлять тип, поскольку само это целое число.

Это представляется как 0x7FEFFFFFFFFFFFFF, который состоит из:

• Знаковый бит 0 (положительный), а не 1 (отрицательный)
• Максимальный показатель 0x7FE(2046, который представляет 1023 после смещения вычитается), а не 0x7FF(2047, который указывает на NaNили бесконечность).
• Максимальная мантисса, 0xFFFFFFFFFFFFFкоторая составляет 52 бита всего 1.

В двоичном виде значение представляет собой неявную 1, за которой следуют еще 52 единицы из мантиссы, затем 971 ноль (1023 - 52 = 971) от показателя степени.

Точное десятичное значение:

179769313486231570814527423731704356798070567525844996598917476803157260780028538760589558632766878171540458953514382464234321326889464182768467546703537516986049910576551282076245490090389328944075868508455133942304583236903222948165808559332123348274797826204144723168738177180919299881250404026184124858368

Это примерно 1,8 х 10 ³⁰⁸ .

Вам нужно посмотреть на размер мантиссы. 64-битное число с плавающей запятой IEEE 754 (которое имеет 52 бита плюс 1 подразумевается) может точно представлять целые числа с абсолютным значением, меньшим или равным 2 ^ 53.

1.7976931348623157 × 10 ^ 308

http://en.wikipedia.org/wiki/Double_precision_floating-point_format

DECIMAL_DIGот <float.h>должен дать хотя бы разумное приближение этого. Поскольку это касается десятичных цифр и действительно хранится в двоичном формате, вы, вероятно, можете хранить что-то немного больше, не теряя точности, но сколько именно трудно сказать. Я полагаю, вы сможете понять это из FLT_RADIXи DBL_MANT_DIG, но я не уверен, что полностью доверю результату.