Просто используйте простой селектор классов.
$('#my_id .my_class')
Неважно, есть ли у элемента другие классы. У него есть класс .my_class , и он находится где-то внутри #my_id , поэтому он будет соответствовать этому селектору.
Что касается производительности
Согласно документации по производительности селектора jQuery , быстрее использовать два селектора отдельно, например:
$('#my_id').find('.my_class')
Вот соответствующая часть документации:
Селекторы на основе идентификатора
$( "#container div.robotarm" );
$( "#container" ).find( "div.robotarm" );
Этот .find()подход работает быстрее, потому что первый выбор обрабатывается без прохождения механизма выбора Sizzle - выбор только по идентификатору обрабатывается с использованием document.getElementById(), что очень быстро, потому что оно встроено в браузер.
Выбор только по идентификатору или только по классу (среди прочего) вызывает функции, предоставляемые браузером, например, document.getElementById()которые довольно быстрые, тогда как использование дочернего селектора вызывает упомянутый механизм Sizzle, который, хотя и быстрый, но медленнее, чем предлагаемая альтернатива.