Является ли база журнала Big O (logn) e?

96

Я вижу, что для структур данных типа двоичного дерева поиска нотация Big O обычно обозначается как O (logn). Имеет ли в журнале строчную букву l, подразумевает ли это основание журнала e (n), описываемое натуральным логарифмом? Извините за простой вопрос, но у меня всегда были проблемы с различением различных подразумеваемых логарифмов.

— БакНаполненныйПлатип
источник

58

Как убедительно отмечали другие, это не имеет значения. Все логарифмы отличаются друг от друга константой только в зависимости от используемых оснований. Поскольку эти факторы являются константами, они не имеют значения для целей асимптотического анализа. Во-вторых, что касается определения подразумеваемой базы, это зависит от контекста. В качестве приблизительного практического правила используйте следующее: 1. Когда математик пишет, log nон имеет в виду натуральный логарифм. 2. Когда компьютерный ученый пишет, log nон имеет в виду основание два. 3. Когда инженер пишет, log nон имеет в виду десятичную систему. Обычно это правда.

— Джейсон

4

@Jason, еще одно соглашение (в математике) заключается в том, что ln n означает натуральный логарифм, а log n - десятичный. Думайте, что ln означает французское «логарифм naturelle».

— Интернет-мужчина

2

Основание логарифма - это количество потомков каждого узла. Если это двоичное дерево, то это журнал с базой 2.

— Пол

3

Я ценю твой ответ, Джейсон, и здесь есть над чем подумать. Когда я исследовал, на какой базе находится журнал (я предположил 2), я увидел тот же ответ: это не имеет значения, потому что вы можете исключить константу log_10 (2). Моя проблема с этим заключается в том, что, например: 5 log_10 (5) <5, тогда как 5 log_2 (5)> 5. Я быстро ввел их в свои вычисления, чтобы понять, где O (n logn) имеет лучшее или худшее время выполнения, чем O (п). В зависимости от базы это имеет значение. Поэтому я действительно думаю, что ПРАВИЛЬНЫЙ ответ на этот вопрос должен заключаться в том, что журнал контекстуально означает базу 2 в большинстве компьютерных приложений.

— Дуг Мид

@jason, я бы сказал, что проще использовать ln (математическая интерпретация);). Два других примера разумны.

— Belford

78

После выражения в нотации big-O () оба значения верны. Однако при выводе полинома O () в случае двоичного поиска верным будет только log ₂ . Я предполагаю, что это различие было интуитивным вдохновением для начала вашего вопроса.

Кроме того, на мой взгляд, запись O (log ₂ N) лучше для вашего примера, потому что она лучше передает вывод времени выполнения алгоритма.

В нотации big-O () постоянные множители удаляются. Преобразование из одного логарифма в другой включает умножение на постоянный коэффициент.

Таким образом, O (log N) эквивалентно O (log ₂ N) из-за постоянного множителя.

Однако, если вы можете легко набрать log ₂ N в своем ответе, это будет более педагогическим занятием. В случае поиска по двоичному дереву вы правы, что log ₂ N вводится во время вывода среды выполнения big-O ().

Прежде чем выразить результат в виде нотации big-O (), разница очень важна. При выводе полинома, который будет передаваться через нотацию большого O, для этого примера было бы неправильно использовать логарифм, отличный от log ₂ N, до применения нотации O (). Как только полином используется для передачи среды выполнения в наихудшем случае через нотацию big-O (), не имеет значения, какой логарифм используется.

— Хит Ханникатт
источник

4

Но очень легко показать, что log_2 nэто применимо Θ(log_a n)к любой базе a, поэтому я не уверен, что понимаю, что использование базы 2 «правильнее».

— bcat

1

Kinopkio и bcat, спасибо, что помогли им стать полезными. Сначала это было не очень хорошо написано. :)

— Хит Ханникатт

2

Что ж, я добавил ясности, но я уверен, что мне больно, что вы думаете, что мой ответ может запутать людей. На самом деле, большинство ответов здесь не учитывали интуицию ОП и пытались его многому научить. Меня не так сильно поразила конкуренция, мне немного грустно из-за низкой планки педагогики.

— Хит Ханникатт,

11

«при выводе полинома O () в случае двоичного поиска правильным является только log2». -1 за плохую математику. Определение x (n) ~ O (f (n)) говорит, что существует константа c такая, что c * (f (n)) <x (n) для всех n> n_0. Таким образом, постоянный коэффициент не имеет значения при анализе.

— rlbond

3

Поскольку log2 (x) равен log10 (x) / log10 (2), вы можете получить его в любом случае. Журнал не является строго основанием 2 в любой момент.

— rlbond

80

Нотация Big O не зависит от логарифмического основания, потому что все логарифмы в разных основаниях связаны постоянным множителем , O(ln n)что эквивалентно O(log n).

— Кейд Ру
источник

2

графика аккуратная, но подумайте о выводе полинома O () ... до применения O () для двоичного поиска подходит только log-base-2.

— Хит Ханникатт,

1

@Heath Hunnicutt: Нет. log_2 xОтличается от log_b xпостоянного множителем c(b)для любой базы bнезависимо от x.

— Джейсон

4

Но почему вы об этом говорите, когда это не имеет отношения к вопросу и только сбивает с толку?

— hobbs

4

Хоббс: Потому что именно этот факт послужил причиной того, что ОП было задумано. Я пытаюсь связать его идеи с ответом, чтобы он понял, почему у него была интуиция, почему она не применима к O (), но не применять то, что он здесь узнает, к выводной части анализа. Краткие ответы, которые не затрагивают основную причину недоразумения, могут привести к дальнейшему недопониманию. Это плохая педагогика.

— Хит Ханникатт,

4

@Heath Hunnicutt: Если вы проводите асимптотический анализ, это не имеет значения. То, что вы ждете до последней минуты, чтобы бросить какие-то большие цифры, не меняет того факта, что я могу умножать и делить все свои логарифмы на какую-то глупую константу и изменять базу на всех этапах. То есть, если у меня есть какой-то анализ, который включает log_2 n, я могу просто пойти и заменить log_2 nвезде, log_pi 2 * log_2 n / log_pi 2а затем просто закончить анализом, который есть log_pi 2 * log_pi nвезде. Теперь мой анализ с точки зрения log_pi n.

— Джейсон

9

На самом деле не имеет значения, какая это база, так как нотация большого О обычно пишется с указанием только асимптотически наивысшего порядка n, поэтому постоянные коэффициенты исчезнут. Поскольку другое основание логарифма эквивалентно постоянному коэффициенту, оно излишне.

Тем не менее, я, вероятно, предположил бы базу журнала 2.

— Дэниел Прайден
источник

@Kinopiko: Что именно в этом не так? Точнее, чем мой ответ на самом деле отличается от вашего и других здесь?

— Дэниел Прайден,

Ах, возможно, моя ошибка в использовании «коэффициента». Отредактирую, чтобы уточнить.

— Дэниел Прайден,

Это было моей главной проблемой с вашим ответом. Кроме того, немного неясно, что вы подразумеваете под «они все равно будут иметь какой-то эффект». Некоторое влияние на что?

— bcat

1

В вашем ответе обсуждаются коэффициенты высшего порядка. То, что вы сказали, правильно, но это не причина того, что основание логарифма не имеет значения. Причина в том, что разница между разными логарифмами по основанию - это константа, которая поглощается O ().

1

@Kinopiko: Хорошо. Я думаю, мы говорим то же самое. Я бы сказал, что O (100) = O (1), потому что O (100) = O (100 * 1) = O (C * 1) = O (1). Именно это я имел в виду, говоря, что постоянные выражения излишни. То есть порядок из любой константы равно 1.

— Daniel Pryden

7

Оба верны. Думать об этом

log2(n)=log(n)/log(2)=O(log(n))
log10(n)=log(n)/log(10)=O(log(n))
logE(n)=log(n)/log(E)=O(log(n))

— картон
источник

2

Да, когда мы говорим о нотации большого О, основание не имеет значения. Однако с вычислительной точки зрения, когда вы сталкиваетесь с реальной проблемой поиска, это имеет значение.

При развитии интуиции о древовидных структурах полезно понимать, что в двоичном дереве поиска можно искать за O (n log n) время, потому что это высота дерева, то есть в двоичном дереве с n узлами дерево глубина равна O (n log n) (основание 2). Если у каждого узла есть три дочерних узла, поиск в дереве все еще может выполняться за время O (n log n), но с логарифмом по основанию 3. С вычислительной точки зрения количество дочерних узлов у каждого узла может иметь большое влияние на производительность (см., Например, текст ссылки )

Наслаждайтесь!

Павел

— Павел
источник

Вы хотели сказать, что высота двоичного дерева равна log n, а не n log n, верно?

— ячейка

1

Технически база не имеет значения, но обычно ее можно рассматривать как базу-2.

— Тим Сильвестр
источник

1

Сначала вы должны понять, что значит для функции f (n) быть O (g (n)).

Формальное определение: * Функция f (n) называется O (g (n)) тогда и только тогда, когда | f (n) | <= C * | g (n) | всякий раз, когда n> k, где C и k - константы. *

поэтому пусть f (n) = log base a of n, где a> 1 и g (n) = log base b of n, где b> 1

ПРИМЕЧАНИЕ. Это означает, что значения a и b могут быть любым значением больше 1, например a = 100 и b = 3.

Теперь мы получаем следующее: логарифмическая база a для n называется O (логарифмическая база b для n), если | log base a of n | <= C * | логарифмическая база b из n | всякий раз, когда n> k

Выберите k = 0 и C = log base a of b.

Теперь наше уравнение выглядит следующим образом: | log base a of n | <= логарифмическая база a из b * | логарифмическая база b из n | всякий раз, когда n> 0

Теперь наше уравнение выглядит следующим образом: | log base a of n | <= | логарифмическая база a из n | всякий раз, когда n> 0

Уравнение всегда верно вне зависимости от значений n, b или a, кроме их ограничений a, b> 1 и n> 0. Таким образом, логарифмическая база a для n равна O (логарифмическая база b для n), и поскольку a, b не имеют значения, мы можем просто опустить их.

Вы можете посмотреть видео на YouTube здесь: https://www.youtube.com/watch?v=MY-VCrQCaVw

Вы можете прочитать статью об этом здесь: https://medium.com/@randerson112358/omitting-bases-in-logs-in-big-o-a619a46740ca

— временная почта
источник