Читая https://en.uncyclopedia.co/wiki/Haskell (и игнорируя все «оскорбительные» вещи), я наткнулся на следующий фрагмент запутанного кода:
fix$(<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[{- thor's mother -}])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(*2))$1
Когда я запускаю этот фрагмент кода ghci(после импорта Data.Functionи Control.Applicative), ghciраспечатывает список всех степеней двойки.
Как работает этот фрагмент кода?
Ответы:
Для начала у нас есть прекрасное определение
x = 1 : map (2*) x
что само по себе немного умопомрачительно, если вы никогда его раньше не видели. В любом случае это довольно стандартный трюк лени и рекурсии. Теперь мы избавимся от явной рекурсии с использованием fixи без точки.
x = fix (\vs -> 1 : map (2*) vs)
x = fix ((1:) . map (2*))
Следующее, что мы собираемся сделать, это расширить :раздел и сделать mapненужное сложным.
x = fix ((:) 1 . (map . (*) . (*2)) 1)
Итак, теперь у нас есть две копии этой константы 1. Этого никогда не будет, поэтому мы воспользуемся аппликативом для чтения, чтобы это исключить. Кроме того, композиция функций - это немного вздор, поэтому давайте заменим ее (<$>)везде, где сможем.
x = fix (liftA2 (.) (:) (map . (*) . (*2)) 1)
x = fix (((.) <$> (:) <*> (map . (*) . (*2))) 1)
x = fix (((<$>) <$> (:) <*> (map <$> (*) <$> (*2))) 1)
Далее: этот вызов mapслишком удобочитаем. Но бояться нечего: мы можем использовать законы монад, чтобы немного расширить его. В частности fmap f x = x >>= return . f, так
map f x = x >>= return . f
map f x = ((:[]) <$> f) =<< x
Мы можем избавиться от точек, заменить (.)на (<$>), а затем добавить несколько ложных секций:
map = (=<<) . ((:[]) <$>)
map = (=<<) <$> ((:[]) <$>)
map = (<$> ((:[]) <$>)) (=<<)
Подставив это уравнение на наш предыдущий шаг:
x = fix (((<$>) <$> (:) <*> ((<$> ((:[]) <$>)) (=<<) <$> (*) <$> (*2))) 1)
Наконец, вы ломаете пробел и получаете чудесное окончательное уравнение
x=fix(((<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(*2)))1)
{- thor's mother -}!
Писал длинный ответ с полным прогоном моих IRC-журналов экспериментов, ведущих к окончательному коду (это было в начале 2008 года), но я случайно весь текст :) Не такая уж большая потеря - для по большей части анализ Дэниела точен.
Вот с чего я начал:
Jan 25 23:47:23 <olsner> @pl let q = 2 : map (2*) q in q
Jan 25 23:47:23 <lambdabot> fix ((2 :) . map (2 *))
Различия в основном сводятся к порядку проведения рефакторинга.
x = 1 : map (2*) xначать с 2 : map ..., я сохранил эти начальные 2 вплоть до самой последней версии, где я сжал a (*2)и заменил $2в конце на $1. Шага «сделать карту излишне сложной» не произошло (так рано).mapфункция была добавлена до замены liftM2 комбинаторами Applicative. Тогда же исчезли все пробелы..для композиции функций. Замена всех тех на, по <$>всей видимости, произошла через какое-то время между этим и анциклопедией.Кстати, вот обновленная версия, в которой больше не упоминается номер 2:
fix$(<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[{- Jörð -}])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(>>=)(+)($))$1
Оба ответа получают обфусцированный фрагмент кода из короткого оригинала, выданного неожиданно, но на самом деле вопрос спрашивает, как длинный запутанный код выполняет свою работу.
Вот как:
fix$(<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[{- thor's mother -}])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(*2))$1
= {- add spaces, remove comment -}
fix $ (<$>) <$> (:) <*> ( (<$> ((:[]) <$>) ) (=<<) <$> (*) <$> (*2) ) $ 1
-- \__\______________/_____________________________/
= {- A <$> B <*> C $ x = A (B x) (C x) -}
fix $ (<$>) (1 :) ( ( (<$> ((:[]) <$>) ) (=<<) <$> (*) <$> (*2) ) 1 )
-- \__\______________/____________________________/
= {- op f g = (f `op` g) ; (`op` g) f = (f `op` g) -}
fix $ (1 :) <$> ( (((=<<) <$> ((:[]) <$>) ) <$> (*) <$> (*2) ) 1 )
-- \\____________________/____________________________/
= {- <$> is left associative anyway -}
fix $ (1 :) <$> ( ( (=<<) <$> ((:[]) <$>) <$> (*) <$> (*2) ) 1 )
-- \__________________________________________________/
= {- A <$> foo = A . foo when foo is a function -}
fix $ (1 :) <$> ( ( (=<<) <$> ((:[]) <$>) . (*) . (*2) ) 1 )
-- \__________________________________________________/
= {- ((:[]) <$>) = (<$>) (:[]) = fmap (:[]) is a function -}
fix $ (1 :) <$> ( ( (=<<) . ((:[]) <$>) . (*) . (*2) ) 1 )
-- \__________________________________________________/
= {- (a . b . c . d) x = a (b (c (d x))) -}
fix $ (1 :) <$> (=<<) ( ((:[]) <$>) ( (*) ( (*2) 1 )))
= {- (`op` y) x = (x `op` y) -}
fix $ (1 :) <$> (=<<) ( ((:[]) <$>) ( (*) 2 ))
= {- op x = (x `op`) -}
fix $ (1 :) <$> (=<<) ( ((:[]) <$>) (2*) )
= {- (f `op`) g = (f `op` g) -}
fix $ (1 :) <$> (=<<) ( (:[]) <$> (2*) )
= {- A <$> foo = A . foo when foo is a function -}
fix $ (1 :) <$> (=<<) ( (:[]) . (2*) )
= {- (f . g) = (\ x -> f (g x)) -}
fix $ (1 :) <$> (=<<) (\ x -> [2*x] )
= {- op f = (f `op`) -}
fix $ (1 :) <$> ( (\ x -> [2*x] ) =<<)
Вот ( (\ x -> [2*x]) =<<) = (>>= (\ x -> [2*x])) = concatMap (\ x -> [2*x]) = map (2*)функция, так что еще раз <$> = .:
=
fix $ (1 :) . map (2*)
= {- substitute the definition of fix -}
let xs = (1 :) . map (2*) $ xs in xs
=
let xs = 1 : [ 2*x | x <- xs] in xs
= {- xs = 1 : ys -}
let ys = [ 2*x | x <- 1:ys] in 1:ys
= {- ys = 2 : zs -}
let zs = [ 2*x | x <- 2:zs] in 1:2:zs
= {- zs = 4 : ws -}
let ws = [ 2*x | x <- 4:ws] in 1:2:4:ws
=
iterate (2*) 1
=
[2^n | n <- [0..]]
все степени двойки в порядке возрастания.
Это использует
A <$> B <*> C $ x = liftA2 A B C xи поскольку liftA2 A B Cприменяется к xнему как функция, это значит как функция liftA2 A B C x = A (B x) (C x).(f `op` g) = op f g = (f `op`) g = (`op` g) f - это три закона операторных секций>>=является монадическим связыванием, и поскольку (`op` g) f = op f gи типы
(>>=) :: Monad m => m a -> (a -> m b ) -> m b
(\ x -> [2*x]) :: Num t => t -> [ t]
(>>= (\ x -> [2*x])) :: Num t => [ t] -> [ t]
по типу application и подстановке мы видим, что рассматриваемая монада предназначена []для (>>= g) = concatMap g.
concatMap (\ x -> [2*x]) xs упрощается как
concat $ map (\ x -> [2*x])
=
concat $ [ [2*x] | x <- xs]
=
[ 2*x | x <- xs]
=
map (\ x -> 2*x )
и по определению
(f . g) x = f (g x)
fix f = let x = f x in x
iterate f x = x : iterate f (f x)
= x : let y = f x in
y : iterate f (f y)
= x : let y = f x in
y : let z = f y in
z : iterate f (f z)
= ...
= [ (f^n) x | n <- [0..]]
где
f^n = f . f . ... . f
-- \_____n_times _______/
так что
((2*)^n) 1 = ((2*) . (2*) . ... . (2*)) 1
= 2* ( 2* ( ... ( 2* 1 )...))
= 2^n , for n in [0..]