Почему временная сложность как DFS, так и BFS O (V + E)

Базовый алгоритм для BFS:

set start vertex to visited

load it into queue

while queue not empty

   for each edge incident to vertex

        if its not visited

            load into queue

            mark vertex

Поэтому я бы подумал, что временная сложность будет такой:

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges) 

где vвершина 1кn

Во-первых, правильно ли я сказал? Во-вторых, как это O(N + E), и интуиция относительно того, почему это было бы действительно хорошо. Спасибо

Ваша сумма

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges)

может быть переписан как

(v1 + v2 + ... + vn) + [(incident_edges v1) + (incident_edges v2) + ... + (incident_edges vn)]

и первая группа, в O(N)то время как другая O(E).

ДФС (анализ):

• Установка / получение метки вершины / ребра требует O(1)времени
• Каждая вершина помечена дважды
  • один раз как НЕИЗВЕСТНО
  • один раз как ПОСЕТИТЕ
• Каждое ребро помечено дважды
  • один раз как НЕИЗВЕСТНО
  • один раз как DISCOVERY или BACK
• Метод IncidentEdges вызывается один раз для каждой вершины.
• DFS запускается во O(n + m)времени, если граф представлен структурой списка смежности
• Напомним, что Σv deg(v) = 2m

BFS (анализ):

• Установка / получение метки вершины / ребра занимает O (1) раз
• Каждая вершина помечена дважды
  • один раз как НЕИЗВЕСТНО
  • один раз как ПОСЕТИТЕ
• Каждое ребро помечено дважды
  • один раз как НЕИЗВЕСТНО
  • один раз как DISCOVERY или CROSS
• Каждая вершина вставляется один раз в последовательность Li
• Метод IncidentEdges вызывается один раз для каждой вершины.
• BFS работает во O(n + m)времени, если граф представлен структурой списка смежности.
• Напомним, что Σv deg(v) = 2m

Очень упрощено без особых формальностей: каждое ребро рассматривается ровно дважды, и каждый узел обрабатывается ровно один раз, поэтому сложность должна быть постоянной, кратной количеству ребер, а также количеству вершин.

Сложность времени O(E+V)вместо этого, O(2E+V)потому что, если сложность времени равна n ^ 2 + 2n + 7, то она записывается как O (n ^ 2).

Следовательно, O (2E + V) записывается как O (E + V)

потому что разница между n ^ 2 и n имеет значение, но не между n и 2n.

Я думаю, что каждое ребро было рассмотрено дважды и каждый узел был посещен один раз, поэтому общая временная сложность должна быть O (2E + V).

Интуитивно понятное объяснение этому заключается в простом анализе одного цикла:

1. посетить вершину -> O (1)
2. цикл for на всех инцидентных ребрах -> O (e), где e - количество ребер, инцидентных данной вершине v.

Таким образом, общее время для одного цикла составляет O (1) + O (e). Теперь просуммируйте его для каждой вершины, поскольку каждая вершина посещается один раз. Это дает

For every V
=> 

    O(1)
    +

    O(e)

=> O(V) + O(E)

Краткое, но простое объяснение:

В худшем случае вам нужно будет посетить все вершины и ребра, поэтому временная сложность в худшем случае составляет O (V + E)