Это не верный ответ, а расширение расчета дифракционных картин из ответа @ whuber .
Во-первых, у нас есть дифракционный интеграл. Функция U p описывает комплексную амплитуду в плоскости наблюдения на расстоянии ( x p , y p ) от оптической оси и расстоянии L z от источника (некоторый вид дифракционного объекта, например, обскура, апертуры камеры и т. Д.). ) U s - функция, которая описывает комплексную амплитуду в плоскости источника; для очень маленького отверстия можно использовать функцию дельты Дирака . Третья переменная в U s равна 0, потому что для удобства мы говорим, что дифракционный объект является источником системы координат. Переменные х си y s в своих аргументах ведет учет того факта, что объект может иметь некоторый размер в плоскости x – y .
Это может не выглядеть таким ужасным интегралом, но k и r sp - просто обозначение чего-то большего:
Интегрирование функции с радикалом с квадратными слагаемыми в ней как в числителе e, так и в знаменателе - действительно очень неприятный интеграл.
Один упрощает интеграл, удаляя квадратные корни, используя представление биномиальных рядов и обрезая члены более высокого порядка. Интеграл Фраунгофера держит , когда нужно 2 условия; интеграл Френеля для когда нужно 3 условия. В доказательстве этого есть некоторая нюансировка, но она выходит за рамки этого.
Когда мы начинаем манипулировать этими вещами, чтобы получить дифракционные интегралы Френеля и Фраунгофера, мы получаем три величины.
Если Nfd * ( θ d ) 2 << 1, интеграл Френеля верен. Если это так и Nfs << 1, интеграл Фраунгофера верен.
Два интеграла:
Френеля:
Фраунгофера:
где
,
и ν х и ν у являются размер источника в данной размерности , деленное на длине волны света от времени расстояние до источника. Обычно это будет записано ν s = d / ( λx s ).
Чтобы ответить на вопрос @ whuber о том, почему вам может понадобиться то или другое, несмотря на то, что говорится в Википедии, нужно немного подумать.
Комментарий «в фокальной плоскости объектива формирования изображения ...», вероятно, взят из учебника, и подразумевается, что источник дифракции (то есть, точечное отверстие, щель, что угодно - эти уравнения не зависят от геометрии источник) очень далеко. К сожалению, линза не только может быть на любом расстоянии и ближе, чем позволяет интеграл Фраунгофера, но и дифракция также возникает внутри системы линз для камеры.
Правильная модель для дифракции от апертуры камеры - это n- сторонняя апертура ( n - это количество лопастей диафрагмы в объективе), освещаемая точечным источником в месте объекта на изображении, которое создает шаблон звездообразования.
Когда объекты действительно далеко (несколько метров было бы хорошо), точечные источники ведут себя так, как будто они плоские волны, а деривация в Википедии хорошая.
Например, диафрагма для объектива с двойным гауссом 50 мм составляет порядка 40 ~ 60 мм от плоскости изображения. Это изображение отражается парой линз за физической остановкой на расстоянии, превышающем это (это местоположение выходного зрачка), но выходной зрачок находится не там, где есть функция U s ( x s , y s , 0) в центре!
Для света с апертурой радиусом 500 нм и 1 мм мы можем проверить, является ли интеграл Фраунгофера действительным. Он равен (0,001) 2 / (500 * 10 -9 * 50 * 10 -3 ) или 40, что составляет >> 1, а интеграл Фраунгофера недействителен. Для видимого света, пока упор диафрагмы составляет порядка миллиметра от детектора, Nfs никогда не будет где-либо около 1, не говоря уже о гораздо меньшем.
Эти уравнения могут несколько отличаться от уравнений в Википедии; Я хотел бы сослаться на OPT 261 «Интерференция и дифракция» в Институте оптики Университета Рочестера, преподававшего профессором Вамивакасом. Уравнения в оптике Хехта должны быть довольно похожи. Уравнения для комплексной амплитуды , чтобы получить облученности (он же интенсивности или яркости), вы бы величину квадрат результата.
