Понимание терминов в формуле длины степени?

Онлайн-калькуляторы, такие как http://www.csgnetwork.com/degreelenllavcalc.html (просмотр страницы источника), используют приведенные ниже формулы для получения метров за градус. Я в целом понимаю, как расстояние на градус варьируется в зависимости от местоположения широты, но я не понимаю, как это приводит к приведенному ниже. Более конкретно, откуда берутся константы, 3 члена «cos» в каждой формуле и коэффициенты (2, 4, 6; 3 и 5) для «lat»?

    // Set up "Constants"
    m1 = 111132.92;     // latitude calculation term 1
    m2 = -559.82;       // latitude calculation term 2
    m3 = 1.175;         // latitude calculation term 3
    m4 = -0.0023;       // latitude calculation term 4
    p1 = 111412.84;     // longitude calculation term 1
    p2 = -93.5;         // longitude calculation term 2
    p3 = 0.118;         // longitude calculation term 3

    // Calculate the length of a degree of latitude and longitude in meters
    latlen = m1 + (m2 * Math.cos(2 * lat)) + (m3 * Math.cos(4 * lat)) +
            (m4 * Math.cos(6 * lat));
    longlen = (p1 * Math.cos(lat)) + (p2 * Math.cos(3 * lat)) +
                (p3 * Math.cos(5 * lat));

Главный радиус сфероида WGS84 составляет a = 6378137 метров, а его обратное уплощение равно f = 298.257223563, откуда квадрат эксцентриситета равен

e2 = (2 - 1/f)/f = 0.0066943799901413165.

Меридиональный радиус кривизны на широте фи является

M = a(1 - e2) / (1 - e2 sin(phi)^2)^(3/2)

а радиус кривизны вдоль параллели равен

N = a / (1 - e2 sin(phi)^2)^(1/2)

Кроме того, радиус параллели равен

r = N cos(phi)

Это мультипликативные поправки к сферическим значениям M и N , которые равны сферическому радиусу a , к которому они уменьшаются, когда e2 = 0.

В желтой точке в 45 градусах северной широты синий диск радиуса M - это осциллирующий круг («поцелуй») в направлении меридиана, а красный диск радиуса N - это осциллирующий круг в направлении параллели: оба диски содержат направление «вниз» в этой точке. Эта цифра преувеличивает уплощение Земли на два порядка.

Радиусы кривизны определяют длины градусов: когда круг имеет радиус R , его периметр длины 2 pi R охватывает 360 градусов, откуда длина одного градуса равна pi * R / 180. Подставляя M и r для R - то есть умножение M и r на pi / 180 - дает простые точные формулы для длин градусов.

Эти формулы, которые основаны исключительно на заданных значениях a и f (которые можно найти во многих местах ) и описании сфероида как эллипсоида вращения, согласуются с расчетами в вопросе с точностью до 0,6 частей на миллион (несколько сантиметров), что примерно соответствует порядку величины самых маленьких коэффициентов в вопросе, что указывает на их согласие. (Приближение всегда немного низкое.) На графике относительная погрешность длины градуса широты черная, а долготы - пунктирная красная:

Соответственно, мы можем понимать, что вычисления в вопросе являются приближениями (через усеченные тригонометрические ряды) к формулам, приведенным выше.

Коэффициенты могут быть вычислены из ряда косинусов Фурье для M и r как функции широты. Они даны в терминах эллиптических функций e2, которые были бы слишком беспорядочными для воспроизведения здесь. Для сфероида WGS84 мои расчеты дают

  m1 = 111132.95255
  m2 = -559.84957
  m3 = 1.17514
  m4 = -0.00230
  p1 = 111412.87733
  p2 = -93.50412
  p3 = 0.11774
  p4 = -0.000165

(Вы можете догадаться, как p4входит в формулу. :) Близость этих значений к параметрам в коде свидетельствует о правильности этой интерпретации. Эта улучшенная аппроксимация точнее, чем одна часть на миллиард, везде.

Чтобы проверить этот ответ, я выполнил Rкод для выполнения обоих расчетов:

#
# Radii of meridians and parallels on a spheroid.  Defaults to WGS84 meters.
# Input is latitude (in degrees).
#
radii <- function(phi, a=6378137, e2=0.0066943799901413165) {
  u <- 1 - e2 * sin(phi)^2
  return(cbind(M=(1-e2)/u, r=cos(phi)) * (a / sqrt(u))) 
}
#
# Approximate calculation.  Same interface (but no options).
#
m.per.deg <- function(lat) {
  m1 = 111132.92;     # latitude calculation term 1
  m2 = -559.82;       # latitude calculation term 2
  m3 = 1.175;         # latitude calculation term 3
  m4 = -0.0023;       # latitude calculation term 4
  p1 = 111412.84;     # longitude calculation term 1
  p2 = -93.5;         # longitude calculation term 2
  p3 = 0.118;         # longitude calculation term 3

  latlen = m1 + m2 * cos(2 * lat) + m3 * cos(4 * lat) + m4 * cos(6 * lat);
  longlen = p1 * cos(lat) + p2 * cos(3 * lat) + p3 * cos(5 * lat);
  return(cbind(M.approx=latlen, r.approx=longlen))
}
#
# Compute the error of the approximation `m.per.deg` compared to the 
# correct formula and plot it as a function of latitude.
#
phi <- pi / 180 * seq(0, 90, 10)
names(phi) <- phi * 180 / pi
matplot(phi * 180 / pi, 10^6 * ((m.per.deg(phi) - radii(phi) * pi / 180) / 
       (radii(phi) * pi / 180)),
        xlab="Latitude (degrees)", ylab="Relative error * 10^6",lwd=2, type="l")

Точный расчет с radiiможет быть использован для печати таблиц длин градусов, как в

zapsmall(radii(phi) * pi / 180)

Вывод в метрах и выглядит следующим образом (с некоторыми удаленными линиями):

          M         r
0  110574.3 111319.49
10 110607.8 109639.36
20 110704.3 104647.09
...
80 111659.9  19393.49
90 111694.0      0.00

Ссылки

Л.М. Бугаевский и Ю.П. Снайдер. Картографические проекции - справочное руководство. Taylor & Francis, 1995. (Приложение 2 и Приложение 4)

JP Снайдер, Карта проекций - рабочее руководство. USGS Professional Paper 1395, 1987. (Глава 3)

Это формула Haversine , хотя и выражена странным образом.