Это результат отображения прямой линии из точки в США в Польшу с использованием инструмента измерения расстояния .
Кроме того, самолеты из Азии в США будут летать почти над Северным полюсом.
Почему путь так изогнут? Я согласен, что это плоское представление сферы, поэтому я ожидаю некоторой дуги, но я не думаю, что у Земли есть такая большая кривизна.
Что мне здесь не хватает?
Ответы:
Просто посмотрите на путь на сфере. Вот это в Google Earth:
Путь на вашей карте сильно изогнут, потому что ваша карта использует проекцию с большим искажением. (Искажение растет без ограничений к полюсам, и этот путь приближается к северному полюсу.)
Искажение необходимо, чтобы объяснить кривизну этой геодезической на карте, но связь между ними неуловима. Можно сказать больше о том, что это одновременно полезно, информативно и элегантно. Посмотрите, согласны ли вы.
Карта ОП использует проекцию Меркатора. Его выдающиеся качества в том, что это
Цилиндрические : в частности, меридианы - это вертикальные линии на карте,
Конформный : любой угол, под которым два пути пересекаются на земле, будет правильно отображен на карте, и
Loxodromic : любой маршрут с постоянной привязкой (на земле) отображается как отрезок прямой линии на карте.
Эти свойства позволяют легко прочитать важную информацию прямо с карты. В этом контексте меня больше всего интересуют углы, образованные любым путем с каждым из меридианов, которые он пересекает. (Это ориентиры, измеренные с севера.) Например, путь, изображенный в вопросе, начинается в Канаде, около 54 градусов широты, образуя угол около 30 градусов с меридианом.
Что нам также нужно знать о точке на 54 градусах широты, так это то, что она ближе к оси Земли, чем точки вдоль экватора. Фактически это cos (54) * R от оси, где R - радиус Земли. (По сути, это определение косинуса. Это помогает иметь некоторое представление о косинусах, поэтому вы понимаете, как они себя ведут, но вам не нужно вообще знать какую-либо другую тригонометрию. Обещаю. Ну, еще одна вещь: синус угла косинус его дополнения. Например, Sin (32 градуса) = COS (90-32) = совы (58).)
Наконец, обратите внимание, что Земля вращательно симметрична относительно своей оси. Это позволяет нам ссылаться на прекрасный Клэр
Теорема (1743): На пути в любой гладкой поверхности вращения произведение расстояния до оси с синусом подшипника является постоянным тогда и только тогда, когда путь является локально геодезическим.
Таким образом, поскольку мы начинаем с широты 54 градуса под углом 30 градусов, произведение в теореме равно cos (54) * R * sin (30) = 0,294 * R.
Как это помогает? Хорошо, подумайте, что произойдет, если путь будет продолжаться примерно прямо на карте . Рано или поздно оно поднимется до широты 73 градуса. Используя теорему Клеро, мы можем решить для направления на этой широте:
cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;
sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;
bearing = 90 degrees.Это говорит о том, что к тому времени, когда мы достигнем 73 градуса, мы уже должны ехать на восток ! То есть путь для того, чтобы быть геодезическим, должен изгибаться так сильно, что начальный азимут 30 градусов (к востоку от севера) становится 90 градусов (к востоку от севера).
(Конечно, я нашел значение 73 градуса, решив уравнение cos (широта) = cos (широта) * sin (90) = cos (54) * sin (60). Чтобы сделать это самостоятельно, вы должны знать, что (a ) sin (90) = 1 (потому что sin (90) = cos (90-90) = cos (0) = 1) и (b) большинство калькуляторов и электронных таблиц имеют функцию для решения косинусов: она называется ArcCos или обратный косинус. Надеюсь, вы не рассматриваете эту маленькую деталь как нарушение моего прежнего обещания о том, что больше не будет триггеров ...)
После нескольких подобных вычислений вы развиваете интуицию к тому, что говорит теорема Клэр. Траектория на поверхности вращения (например, на земле) может быть геодезической (локально кратчайшей или «прямой») только тогда, когда (а) ее направление становится более параллельным меридианам в точках, удаленных от оси, и (б) ее направление становится больше перпендикулярно меридианам в точках ближе к оси. Потому что есть предел того, насколько перпендикулярно можно получить - это 90 градусов! - есть предел тому, насколько близко к оси вы можете получить. Эта постоянная корректировка азимута (= угла к меридиану) и широты (= расстояния до оси) вызывает кажущуюся кривизну геодезических на большинстве карт, особенно на тех, которые используют цилиндрические проекции, где меридианы и линии широты отображаются как вертикальные и горизонтальные линии, соответственно.
Вот несколько простых следствий из теоремы Клеро. Посмотрите, сможете ли вы доказать их все
Экватор должен быть геодезическим.
Все меридианы являются геодезическими.
Никакая линия широты, кроме экватора (и полюсов, если вы хотите их включить), не может быть геодезической. Даже небольшая часть линии широты не может быть геодезической.
Локсодромы (aka rhumb lines), которые являются линиями постоянного отношения, не могут быть геодезическими, если они не являются меридианами или экватором. Даже небольшая часть такого локсодрома не может быть геодезической. Другими словами, если вы плывете или летите в фиксированном направлении по компасу, то - за несколькими очевидными исключениями - ваш путь постоянно изгибается!
В пункте 4 говорится, что если вы летите с канадских Скалистых гор с начальным углом наклона 30 градусов к востоку от севера, вы должны показаться относительно севера постоянно поворачивающимся (направо), чтобы лететь прямо; вы никогда не пойдете к северу от 73 градусов широты; и если вы продвинетесь достаточно далеко, вы доберетесь до Польши и по пути доберетесь примерно до 150 градусов к востоку от севера. Конечно, детали - 73 градуса и Польша и 150 градусов - получены только из количественного утверждения теоремы Клэро: обычно вы не можете понять такие вещи, просто используя ваше интуитивное представление о геодезических.
Примечательно, что все эти результаты относятся к общему сфероиду (поверхности вращения, создаваемой эллипсом), а не только к совершенным сферам. С небольшими изменениями они сохраняются для торов (поверхности бубликов или шин для грузовых автомобилей) и многих других интересных поверхностей. (The Sci Fi автор Нивен написал роман , в котором показан небольшой искусственный тор-образный мир. Ссылка включает в себя изображение с обложки , изображающей часть романа этого мира.)
В этой проекции (Google Mercator) именно так выглядит дуга большого круга между этими двумя местами.
Просто быстрое дополнение:
Кроме того, самолеты из Азии в США будут летать почти над Северным полюсом.
В этом направлении они часто будут использовать реактивный поток. В другом направлении они действительно пролетят над полюсами или приблизятся к ним.
Проекция Меркатора искажается на полюсах http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection
более подробная информация Tissot's Indicatrix
Таким образом, крутизна является более острой на последних полюсах
Я видел очень элегантное объяснение этого явления в блоге Тома МакВрайта здесь с фотографиями апельсинов. Версия «Объясни это 5-летней давности»: «На земном шаре кратчайшие пути плоские, а навигационные линии изогнутые. Mercator сделал карту, где навигационные линии прямые. Это сделало кратчайшие пути изогнутыми».
Это происходит из-за проекции 2D-плоскости на полизированную поверхность из двух сфер, так как линия проходит мимо полюсов, она искажается настолько, насколько это касается наблюдателей 2D-плоскости, поскольку прямая линия до пункта назначения выглядит изогнутой Ковчег Великого Круга, который в математике является термином, относящимся к самому большому кругу, который можно вырезать из сферы, если круг проходит через центр сферы. Я немного изменил Изображения, представленные в других ответах, нарисовав линию поперек, чтобы проиллюстрировать (я боюсь, довольно плохо, я новичок в GIMP) Так называемое полярное искажение. Я думаю, что подобная концепция лежит в основе гравитационных сил, но я не физик, поэтому я не могу сказать.
Чем ближе к полюсам точка, тем меньше она деформируется при рендеринге на плоскую 2D-поверхность, хотя она все еще незначительна. Это также зависит от используемого метода проекции, и есть некоторые, которые направлены на то, чтобы сделать быстрый маршрут между двумя точками плоскими, а затем повернуть назад на полный сферический вид.