Средний уклон звучит как натуральное количество, но это довольно странная вещь. Например, средний наклон плоской горизонтальной плоскости равен нуль, но при добавлении крошечного случайного, нулевой среднего шума на ЦМР эту равнину, средний уклон может идти только вверх. Другие странные поведения - это зависимость среднего наклона от разрешения ЦМР, которую я здесь задокументировал , и его зависимость от того, как была создана ЦМР. Например, некоторые матрицы высот, созданные из контурных карт, на самом деле слегка террасированы - с крошечными резкими скачками, где лежат контурные линии - но в остальном являются точными представлениями поверхности в целом. Эти резкие скачки, если в процессе усреднения получить слишком много или слишком мало веса, могут изменить средний наклон.
Поднятие взвешивания важно, потому что, по сути, среднее гармоническое (и другие средства) дифференциально взвешивают наклоны. Чтобы понять это, рассмотрим гармоническое среднее только двух положительных чисел x и y . По определению,
Harmonic mean(x,y) = 1 / ((1/x + 1/y)/2) = x (y/(x+y)) + y (x/(x+y)) = a x + b y
где весами являются a = y / (x + y) и b = x / (x + y). (Они заслуживают того, чтобы называться «весами», потому что они положительны и суммируются с единицей. Для среднего арифметического веса весы a = 1/2 и b = 1/2). Очевидно, что вес прикреплен к й , равно у / (х + у), является большим , когда х является малым по сравнению с у . Таким образом, гармоника означает перевес меньших значений.
Это может помочь расширить вопрос. Среднее гармоническое - это одно из семейства средних значений, параметризованных действительным значением p . Подобно тому , как среднее гармоническое получается путем усреднения обратных по х и у (а затем принимать обратную их среднее значение ), в общем , мы можем усреднить РТН полномочия х и у (а затем взять 1 / PTH силу результата ). Случаи p = 1 и p = -1 являются средним арифметическим и гармоническим значением соответственно. (Мы можем определить среднее для p = 0, взяв пределы и, таким образом, получить геометрическое среднее как член этого семейства.) Как pуменьшается от 1, меньшие значения все больше и больше взвешиваются; и когда p увеличивается от 1, большие значения становятся все более и более взвешенными. Отсюда следует, что среднее значение может увеличиваться только при увеличении p и должно уменьшаться при уменьшении p . (Это видно на втором рисунке ниже, где все три линии либо плоские, либо увеличиваются слева направо.)
С практической точки зрения, мы могли бы вместо этого изучить поведение различных средств уклонов и добавить эти знания в наш аналитический инструментарий: когда мы ожидаем, что уклоны вступят в отношения таким образом, что меньшим уклонам следует дать больше влияние, мы могли бы выбрать среднее значение с р менее 1; и наоборот, мы могли бы увеличить p выше 1, чтобы подчеркнуть самые большие уклоны. Для этого рассмотрим различные формы дренажных профилей в окрестности точки.
Чтобы показать, что может продолжаться, я рассмотрел три качественно различных местных ландшафта : один, где все склоны равны (что является хорошим ориентиром); Другой случай, когда мы локально находимся на дне чаши: вокруг нас склоны равны нулю, но затем постепенно увеличиваются и в конечном итоге вокруг края становятся сколь угодно большими. Обратная ситуация возникает, когда близлежащие склоны умеренные, но затем выровняются от нас. Казалось бы, это охватывает реально широкий спектр поведения.
Вот псевдо-3D графики этих трех типов дренажных форм:
Здесь я вычислил средний наклон каждого - с одинаковым цветовым кодированием - как функцию p , позволяя p варьироваться от -1 (среднее значение гармоники) до 2.
Конечно, синяя линия горизонтальна: независимо от того, какое значение р принимает, среднее значение постоянного наклона не может быть ничем иным, кроме той константы (которая была установлена в 1 для справки). Высокие уклоны вокруг дальнего края красного шара сильно влияют на средние уклоны при изменении p : обратите внимание, насколько они велики, когда p превышает 1. Горизонтальный край на третьей (золотисто-зеленой) поверхности вызывает среднее гармоническое (p = - 1) быть нулем.
Следует отметить, что относительные положения трех кривых изменяются при p = 0 (среднее геометрическое значение): для p, больше 0, у красной чаши средние уклоны больше, чем у синей, в то время как при отрицательном p у красной чаши среднее значение меньше. склоны, чем синие. Таким образом, ваш выбор p может изменить даже относительное ранжирование средних склонов.
Глубокое влияние среднего гармонического (p = -1) на желто-зеленую форму должно дать нам паузу: оно показывает, что когда в дренаже достаточно небольших уклонов, среднее значение гармоники может быть настолько маленьким, что оно подавляет любое влияние все остальные склоны.
В духе исследовательского анализа данных вы могли бы рассмотреть различные p - возможно, позволяющие ему варьироваться от 0 до немного больше 1, чтобы избежать экстремальных весов - и найти, какое значение создает наилучшую связь между средним наклоном и переменной, которую вы моделирование (например, пороги инициализации канала). «Лучший» обычно понимается в смысле «наиболее линейный» или «создание постоянных [гомоскедастических] остатков» в регрессионной модели.