Расчет центроида сферического многоугольника

Я хотел бы общий способ расчета центроидов для полигонов на сфере.

Пока что лучшая онлайн-справка:

Инструменты для графики и фигур Джефф Дженнесс.

Описанный там метод предполагает разложение многоугольника на несколько сферических треугольников и вычисление среднего значения центроидов сферических треугольников, взвешенных по площади сферического треугольника.

Я знаю, что существует несколько способов определения центроида сферического многоугольника, но я ищу что-то аналогичное следующим определениям для точек и полилиний:

• Точки : среднее арифметическое декартовых векторов, представляющих точки.
• Полилинии : средневзвешенное значение декартовых векторов, представляющих средние точки каждого отрезка, взвешенное по (сферической) длине каждого отрезка.

Кажется разумным продолжением, чтобы центроиды многоугольника определялись как взвешенное среднее треугольного разложения, взвешенное по площади.

Мой вопрос заключается в том, будет ли метод в приведенной выше ссылке работать независимо от используемой декомпозиции треугольника. В частности, упоминается разложение на треугольники относительно произвольной точки, даже внешней по отношению к многоугольнику, так что некоторые треугольники будут иметь отрицательные области, которые вносят отрицательный вес.

Связанный: Как найти центр геометрии объекта?

Он не будет работать согласованно, даже если вы выполняете все триангуляции относительно одной фиксированной точки. Проблема в том, что сферические и евклидовы вычисления смешиваются без учета того, что они могут означать.

Один из способов сделать это очевидным - рассмотреть довольно экстремальный треугольник, такой как почти половина полушария. Например, начиная с (lon, lat) = (-179, 0), бегите вдоль экватора к (0, 0), затем до северного полюса в (0, 90), а затем возвращайтесь к началу в (- 179,0). Это треугольник 90-179-90, включающий большую часть северной половины западного полушария. Проблема заключается в том, что его конечные точки (показанные на рисунке белыми точками) лежат практически в плоскости: одна находится на полюсе, а две другие находятся почти на противоположных сторонах от нее. Таким образом, их среднее значение, спроецированное обратно на сферу (красная точка), почти на полюсе - но это примерно так далеко от любого разумного центра, который можно получить:

В качестве другого примера, давайте триангулируем полигон, представляющий верхнюю полусферу относительно ее центра, Северного полюса. Мы всегда будем делить Западное полушарие на две равные половины, каждая из которых представляет собой треугольник 90-90-90 (таким образом избегая любых проблем с огромными, охватывающими полушарие треугольниками). Восточное полушарие, однако, будет разделено на n равных полулун. Вершины луны k ( k = 1, 2, ..., n ) имеют координаты (lon, lat)

((k-1) * 180/n, 0),  (k * 180/n, 0),  (k * 180/n, 90).

На этом рисунке показана установка для k = 8. Красные точки - это «треугольники» отдельных треугольников, рассчитанные в соответствии с документом «Инструменты для графики и фигур», стр. 65-67.

Делая вычисления, я нахожу, что при k = 2, взвешенный по площади центр действительно находится на Северном полюсе (как указывалось бы из соображений симметрии), но с увеличением n результат быстро смещается в западное полушарие и, в предел, приближается к широте 89,556 градусов по долготе -90 градусов. Это примерно в 50 километрах к югу от самого Северного полюса.

Следует признать, что погрешность +/- 50 км для многоугольника, охватывающего 20 000 км, невелика; общее количество произвольных вариаций из-за разных триангуляций в этом случае составляет всего 0,5%. Очевидно, что относительные ошибки могут быть сделаны сколь угодно большими путем включения отрицательных треугольников (просто сложите и вычтите некоторые действительно большие треугольники относительно маленького треугольника). Независимо от этого, любой, кто собирается делать сферические вычисления, очевидно, пытается избежать ошибок проецирования, поэтому он ищет высокую точность. Этот метод триангуляции не может быть рекомендован.

Хорошая идея перечислить свойства, которые должен иметь центроид многоугольника. Вот мои критерии:

(а) Это свойство внутренней части многоугольника (вместо вершин или ребер). Таким образом, разделение ребра на две части путем вставки дополнительной вершины не должно изменять положение центроида. Обратите внимание, что определение центроида по Дженнессу не соответствует этому критерию, поскольку положение центроида будет зависеть от того, как многоугольник делится на треугольники.

(b) Небольшое изменение формы многоугольника должно немного сместить центр тяжести. Здесь необходимо наложить ограничение на общую протяженность многоугольника (например, до одного полушария). Без этого ограничения легко построить случаи, когда центроид внезапно качается к противоположной стороне земли с небольшим движением вершины. Это условие исключает методы, которые требуют, чтобы центроид лежал внутри многоугольника.

(c) Он должен привести к плоскому определению центроида для небольших полигонов.

Вот два подхода, удовлетворяющие этим критериям:

(1) Вычислить центроид для эллипсоидального многоугольника в трех измерениях и спроецировать обратно на поверхность эллипсоида (вдоль нормали к эллипсоиду). Большое преимущество: центроид можно вычислить, разбив многоугольник на более простые формы.

(2) Центроид - это точка с минимальным среднеквадратическим геодезическим расстоянием до всех точек внутри многоугольника. См. Buss и Fillmore, «Сферические средние и применения к сферическим сплайнам и интерполяции», ACM Transactions on Graphics 20 , 95–126 (2001). Большое преимущество: полученная точка не зависит от того, как поверхность встроена в R ³ .

К сожалению, ни одно из этих определений не является простым для применения на практике. Однако первый способ может быть осуществлен просто для сферы. Лучшей «элементарной» областью для использования является четырехугольник, ограниченный ребром многоугольника, двумя меридианами через конечные точки ребра и экватором. Результат для всего многоугольника влечет за собой суммирование вкладов по ребрам. (Дополнительные шаги необходимо предпринять, если многоугольник окружает полюс.)

Предположим, что конечными точками ребра являются (φ ₁ , λ ₁ ) и (φ ₂ , λ ₂ ). Пусть азимуты ребра и конечных точек по α ₁ и α ₂ . Предполагая, что радиус сферы равен 1, площадь четырехугольника равна

  A = α ₂ - α ₁
      = 2 tan ^-1 [tan ½ (λ ₂ - λ ₁ ) sin ½ (φ ₂ + φ ₁ ) / cos ½ (φ ₂ + φ ₁ )]

(Эта формула для площади, по Бесселю, существенно лучше ведет себя численно, чем общепринятая формула Л'Уилье для площади треугольника.)

Компоненты центроида для этого четырехугольника определяются

  2 ⟨ х ⟩ = φ ₂ Sin (λ ₂ - λ ₀ ) - φ ₁ Sin (λ ₁ - λ ₀ )   2 ⟨ у ⟩ = сов α ₀ (σ ₂ - σ ₁ ) - (φ ₂ сов (λ ₂ - λ ₀ ) - φ ₁ сов (λ ₁ - λ ₀ ))   2 ⟨ г ⟩ = (λ ₂ - λ ₁ ) - SIN α ₀ (σ ₂ - σ

₁ )

где σ ₂ - σ ₁ - длина ребра, а λ ₀ и α ₀ - долгота и азимут ребра, где он пересекает экватор, а оси x и y ориентированы так, чтобы пересечение экватора находилось в точке x = 1, y = 0. ( z - ось, проходящая через полюс, конечно.)