Алгоритм трилатерации для n очков

Мне нужно найти алгоритм, который может рассчитать центроид A (он же центр тяжести, геометрический центр, центр масс) по фигуре, где окружности T1, T2, T3, T4, T5, .., Tn пересекаются и длина линии R от центроида до дальний угол упомянутой фигуры

Предоставляется следующая информация:

• Широта T1 = 56,999883 Долгота = 24,144473 Радиус = 943
• Широта T2 = 57.005352 Долгота = 24.151168 Радиус = 857
• T3 Широта = 57.005352 Долгота = 24.163356 Радиус = 714
• Широта T4 = 56.999042 Долгота = 24.168506 Радиус = 714
• T5 Широта = 56.994226 Долгота = 24.15709 Радиус = 771

Результат должен выглядеть следующим образом: A Широта = XX.XXXXXXX Долгота = XX.XXXXXXX Радиус = XX

Как вы, наверное, уже поняли, я работаю над программным обеспечением, которое может определять местоположение устройства по ближайшим точкам доступа Wi-Fi или мобильным базовым станциям, так как количество точек доступа или базовых станций может измениться, мне нужен алгоритм, который может адаптироваться к неопределенному количеству точек ,

Есть некоторые подобные вопросы здесь и здесь , но ни один из них точно не отвечает на мой вопрос.

Измерения радиуса, безусловно, подвержены некоторой ошибке. Я ожидаю, что количество ошибок будет пропорционально самим радиусам. Давайте предположим, что измерения в противном случае беспристрастны. Разумное решение тогда использует взвешенную нелинейную аппроксимацию по методу наименьших квадратов с весами, обратно пропорциональными квадратам радиусов.

Это стандартный материал доступен в (среди прочего) Python, R, Mathematica , и многие полнофункциональные статистические пакеты, так что я просто проиллюстрировать. Вот некоторые данные, полученные путем измерения расстояний с относительной погрешностью 10% до пяти точек произвольного доступа, расположенных вокруг устройства:

Mathematica требуется всего одна строка кода и не измеримое время процессора для вычисления соответствия:

fit = NonlinearModelFit[data, Norm[{x, y} - {x0, y0}], {x0, y0}, {x, y}, Weights -> 1/observations^2]

Редактировать--

Для больших радиусов более точные (сферические или эллипсоидальные) решения можно найти, просто заменив евклидово расстояние Norm[{x, y} - {x0, y0}]на функцию для вычисления сферического или эллипсоидального расстояния. В Mathematica это можно сделать, например , с помощью

fit = NonlinearModelFit[data, GeoDistance[{x, y}, {x0, y0}], {x0, y0}, {x, y}, 
        Weights -> 1/observations^2]

- конец редактирования

Одно из преимуществ использования статистического метода, подобного этому, заключается в том, что он может создавать доверительные интервалы для параметров (которые являются координатами устройства) и даже одновременный доверительный эллипс для местоположения устройства.

ellipsoid = fit["ParameterConfidenceRegion", ConfidenceLevel -> 0.95];
fit["ParameterConfidenceIntervalTable", ConfidenceLevel -> 0.95]

Поучительно представить данные и решение:

Graphics[{Opacity[0.2], EdgeForm[Opacity[0.75]], White, Disk[Most[#], Last[#]] & /@ data, 
  Opacity[1], Red, ellipsoid, 
  PointSize[0.0125], Blue, Point[source], Red, Point[solution],
  PointSize[0.0083], White, Point @ points}, 
  Background -> Black, ImageSize -> 600]

• Белые точки - это (известные) точки доступа.

• Большая синяя точка - это истинное местоположение устройства.

• Серые кружки представляют измеренные радиусы. В идеале они все должны пересекаться в истинном местоположении устройства - но, очевидно, нет, из-за ошибки измерения.

• Большая красная точка - приблизительное местоположение устройства.

• Красный эллипс определяет 95% доверительную область для местоположения устройства.

Форма эллипса в этом случае представляет интерес: локальная неопределенность является наибольшей вдоль линии NW-SE. Здесь расстояния до трех точек доступа (до NE и SW) практически не меняются, и существует компромисс между ошибками между расстояниями до двух других точек доступа (к северу и юго-востоку).

(Более точная доверительная область может быть получена в некоторых системах в виде контура функции правдоподобия; этот эллипс является лишь приближением второго порядка к такому контуру.)

Когда радиусы измерены без ошибок, все окружности будут иметь хотя бы одну точку взаимного пересечения и - если эта точка является уникальной - это будет уникальное решение.

Этот метод работает с двумя или более точками доступа. Три или более необходимы для получения доверительных интервалов. Когда доступно только два, он находит одну из точек пересечения (если они существуют); в противном случае он выбирает подходящее место между двумя точками доступа.

В этом случае каждый круг пересекает все остальные круги, поэтому мы можем определить точки пересечения следующим образом:

Сначала определите все n * (n-1) точек пересечения. Назовем множество этих точек пересечения I . Возьмите список точек T, который содержит самые внутренние точки. Затем для каждой точки p в I проверьте, находится ли p внутри каждого круга. Если р находится внутри каждого круга, то это точка на самом внутреннем пересечении. Добавьте такую точку в списке T .

Теперь у вас есть нужные координаты пересечения. Я могу придумать как минимум два способа предсказать местоположение:

1. Просто вычислите центроид (использовать расстояние как вес?) Многоугольника, образованного буквой Т, и центроид - это желаемое место.
2. Вычислить минимальный круг , который содержит каждую точку Т . Тогда центр этого круга - желаемое место. После этого вычисление R должно быть простым.

Еще одно примечание: сначала преобразуйте силу сигнала в расстояние, используя модель пути в свободном пространстве (или вариации). Мое мнение таково: у вас есть какой-либо обучающий набор данных, вы должны попытаться найти показатель потери пути, используя некоторую технику обучения вместо использования n = 2 или n = 2.2 в качестве фиксированного значения.