Один из моих коллег работает с данными, которые распределены по двум зонам UTM. Большая часть данных находится в одной зоне, а несколько выбросов в другой зоне. Он хотел бы знать, каким будет искажение области этих выбросов, если они находятся в основной зоне UTM.
Существует ли формула для вычисления искажения области, зная, как далеко находятся другие зоны UTM?
Ответы:
UTM использует поперечную проекцию Меркатора с масштабным коэффициентом 0,9996 на центральном меридиане. В Mercator масштабный коэффициент расстояния является секущей широты (один источник: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), откуда масштабный коэффициент площади является квадратом этого масштабного коэффициента (поскольку он применяется в все направления, Меркатор является конформным). Понимая широту как сферическое расстояние до экватора , и аппроксимируя эллипсоид сферой, мы можем применить эту формулу к любому аспекту проекции Меркатора. Таким образом:
Масштабный коэффициент в 0,9996 раз больше (углового) расстояния до центрального меридиана. Коэффициент масштабирования площади представляет собой квадрат этой величины.
Чтобы найти это расстояние, рассмотрим сферический треугольник, образованный путем перемещения по геодезической из произвольной точки в (lon, lat) = (lambda, phi) прямо в направлении центрального меридиана по долготе mu вдоль этого меридиана до ближайшего полюса, а затем обратно вдоль лямбда-меридиана в исходную точку. Первый поворот - это прямой угол, а второй - угол лямбда-му. Сумма, пройденная по последней части, составляет 90-ти градусов. Сферическая Закон синусов применяется к этому треугольнику состояний
грех (лямбда-му) / грех (расстояние) = грех (90 градусов) / грех (90-фи)
с решением
расстояние = ArcSin (грех (лямбда-му) * cos (фи)).
Это расстояние дается в виде угла, который удобен для вычисления секущей.
пример
Рассмотрим UTM-зону 17 с центральным меридианом при -183 + 17 * 6 = -81 градус. Пусть отдаленное местоположение будет на долготе -90 градусов, широте 50 градусов. затем
Шаг 1: Сферическое расстояние от (-90, 50) до меридиана -81 градуса равно ArcSin (sin (9 градусов) * cos (50 градусов)) = 0,1007244 радиан.
Шаг 2: Искажение области равно (0,99996 * сек (0,1007244 радиан)) ^ 2 = 1,009406.
(Численные расчеты с эллипсоидом GRS 80 дают значение 1.009435, показывая, что вычисленный нами ответ слишком мал на 0,3%: это тот же порядок величины, что и при выравнивании эллипсоида, указывая на то, что ошибка вызвана сферическим приближением.)
приближения
Чтобы понять, как меняется область, мы можем использовать некоторые триггерные тождества, чтобы упростить общее выражение и расширить его как ряд Тейлора в лямбда-му (смещение между долготой точки и долготой центрального меридиана UTM). Это работает для
Коэффициент масштабирования области ~ 0,9992 * (1 + cos (фи) ^ 2 * (лямбда-му) ^ 2).
Как и во всех таких расширениях, угол лямбда-му должен измеряться в радианах. Ошибка меньше 0,9992 * cos (phi) ^ 4 * (лямбда-му) ^ 4, что близко к квадрату разности между приближением и 1, то есть квадрату значения после десятичной точки ,
В примере с phi = 50 градусов (с косинусом 0,642788) и лямбда-му = -9 градусов = -0,15708 радиан аппроксимация дает 0,9992 * (1 + 0,642788 ^ 2 * (-0,15708) ^ 2) = 1,009387. Глядя через десятичную точку и возводя в квадрат, мы выводим (даже не зная правильного значения), что его ошибка не может быть больше (0,009387) ^ 2 = меньше 0,0001 (и на самом деле ошибка составляет всего одну пятую от этого размера).
Из этого анализа видно, что в высоких широтах (где cos (phi) мало), масштабные ошибки всегда будут небольшими; и в более низких широтах ошибки масштаба области будут вести себя как квадрат разности долгот.
Инструмент GeographicLib GeoConvert
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
допускает значительное перекрытие между зонами UTM (в частности, преобразование в соседнюю зону допускается при условии, что результирующее восточное направление находится в диапазоне [0 км, 1000 км]). GeoConvert также может сообщать о сходимости и масштабе меридиана, и, как отмечается, искажение области является квадратом масштаба.
Например, ваша «основная» зона составляет 42, и вам дается заданная точка
41N 755778 3503488
(Университет Кандагара), который находится примерно в 29 км к западу от зоны 42. Чтобы преобразовать это в зону 42, используйте
эхо 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
Чтобы определить сходимость и масштаб меридиана в зоне 42, добавьте флаг -c
эхо 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1.73405 1.0008107
Таким образом, искажение области составляет 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221.