Почему мы используем теорему Пифагора в игровой физике?

Недавно я узнал, что мы часто используем теорему Пифагора в наших физических расчетах, и я боюсь, что на самом деле не понимаю.

Вот пример из книги, чтобы убедиться, что объект движется не быстрее, чем MAXIMUM_VELOCITYпостоянная в горизонтальной плоскости:

MAXIMUM_VELOCITY = <any number>;
SQUARED_MAXIMUM_VELOCITY = MAXIMUM_VELOCITY * MAXIMUM_VELOCITY; 

function animate(){
    var squared_horizontal_velocity = (x_velocity * x_velocity) + (z_velocity * z_velocity);

    if( squared_horizontal_velocity <= SQUARED_MAXIMUM_VELOCITY ){

        scalar = squared_horizontal_velocity / SQUARED_MAXIMUM_VELOCITY;

        x_velocity = x_velocity / scalar;
        z_velocity = x_velocity / scalar;
    }
}

Давайте попробуем это с некоторыми числами:

Объект пытается переместить 5 единиц в x и 5 единиц в z. Он должен иметь возможность перемещать только 5 единиц по горизонтали!

MAXIMUM_VELOCITY = 5;
SQUARED_MAXIMUM_VELOCITY = 5 * 5;
SQUARED_MAXIMUM_VELOCITY = 25;

function animate(){
    var x_velocity = 5;
    var z_velocity = 5;

    var squared_horizontal_velocity = (x_velocity * x_velocity) + (z_velocity * z_velocity);
    var squared_horizontal_velocity = 5 * 5 + 5 * 5;
    var squared_horizontal_velocity = 25 + 25;
    var squared_horizontal_velocity = 50;

//  if( squared_horizontal_velocity <= SQUARED_MAXIMUM_VELOCITY ){
    if( 50 <= 25 ){
        scalar = squared_horizontal_velocity / SQUARED_MAXIMUM_VELOCITY;
        scalar = 50 / 25;
        scalar = 2.0;

        x_velocity = x_velocity / scalar;
        x_velocity = 5 / 2.0;
        x_velocity = 2.5;

        z_velocity = z_velocity / scalar;
        z_velocity = 5 / 2.0;
        z_velocity = 2.5;

        // new_horizontal_velocity = x_velocity + z_velocity
        // new_horizontal_velocity = 2.5 + 2.5
        // new_horizontal_velocity = 5
    }
}

Теперь это работает хорошо, но мы можем сделать то же самое без Пифагора:

MAXIMUM_VELOCITY = 5;

function animate(){
    var x_velocity = 5;
    var z_velocity = 5;

    var horizontal_velocity = x_velocity + z_velocity;
    var horizontal_velocity = 5 + 5;
    var horizontal_velocity = 10;

//  if( horizontal_velocity >= MAXIMUM_VELOCITY ){
    if( 10 >= 5 ){
        scalar = horizontal_velocity / MAXIMUM_VELOCITY;
        scalar = 10 / 5;
        scalar = 2.0;

        x_velocity = x_velocity / scalar;
        x_velocity = 5 / 2.0;
        x_velocity = 2.5;

        z_velocity = z_velocity / scalar;
        z_velocity = 5 / 2.0;
        z_velocity = 2.5;

        // new_horizontal_velocity = x_velocity + z_velocity
        // new_horizontal_velocity = 2.5 + 2.5
        // new_horizontal_velocity = 5
    }
}

Преимущества делать это без Пифагора:

1. Меньше строк
2. В этих строках легче читать, что происходит
3. ... и вычисление занимает меньше времени, так как меньше умножений

Мне кажется, что компьютеры и люди получают лучшую сделку без теоремы Пифагора! Однако я уверен, что ошибаюсь, поскольку видел теорему Пифагора в ряде авторитетных мест, поэтому я хотел бы, чтобы кто-то объяснил мне преимущество использования теоремы Пифагора для новичка по математике .

Это как-то связано с единичными векторами? Для меня единичный вектор - это когда мы нормализуем вектор и превращаем его в дробь. Мы делаем это путем деления вектора на большую константу. Я не уверен, что это за константа. Общий размер графика? В любом случае, потому что это дробь, я так понимаю, единичный вектор - это, в основном, график, который может поместиться в трехмерной сетке с осью X, бегущей от -1 до 1, осью Z, бегущей с -1 до 1, и Y ось работает от -1 до 1. Это буквально все, что я знаю о единичных векторах ... не так много: P И я не вижу их полезности.

Кроме того, мы на самом деле не создаем единичный вектор в приведенных выше примерах. Должен ли я определить скаляр следующим образом:

// a mathematical work-around of my own invention. There may be a cleverer way to do this! I've also made up my own terms such as 'divisive_scalar' so don't bother googling
var divisive_scalar = (squared_horizontal_velocity / SQUARED_MAXIMUM_VELOCITY);
var divisive_scalar = ( 50 / 25 );
var divisive_scalar = 2;

var multiplicative_scalar = (divisive_scalar / (2*divisive_scalar));
var multiplicative_scalar = (2 / (2*2));
var multiplicative_scalar = (2 / 4);
var multiplicative_scalar = 0.5;

x_velocity = x_velocity * multiplicative_scalar
x_velocity = 5 * 0.5
x_velocity = 2.5

Опять же, я не понимаю, почему это лучше, но это больше "unit-vector-y", потому что multiplicative_scalar - это unit_vector? Как вы можете видеть, я использую такие слова, как «unit-vector-y», так что я на самом деле не математик! Также помните, что единичные векторы могут не иметь ничего общего с теоремой Пифагора, поэтому игнорируйте все это, если я лаю не на том дереве.

Я очень визуальный человек (3D модельер и концепт-художник по профессии!), И я нахожу диаграммы и графики действительно, очень полезными, так что, насколько это возможно, пожалуйста!

Ваш код без Pythagoras не вычисляет длину, как мы обычно думаем об этом.

Обычно в трехмерных играх мы моделируем мир как евклидово пространство и используем евклидову метрику расстояния ( также известную как теорема Пифагора ), чтобы вычислить общую длину вектора v с компонентами vx и vy. А именно:

EuclideanLength(v) = sqrt(v.x * v.x + v.y * v.y)

(Обратите внимание, что этот квадратный корень отсутствует в приведенном выше примере кода, поэтому оба подхода дают один и тот же ответ. Подробнее об этом в ближайшее время ...)

Код, который вы описали, использует метрику расстояния Манхэттен :

ManhattanLength(v) = abs(v.x) + abs(v.y)

(Хотя вы не включили абсолютные значения, что может привести к неожиданному поведению отрицательных чисел)

Легко видеть, что эти две функции расстояния совпадают, когда vx или vy равны нулю, и мы движемся только вдоль одной оси. Как они сравниваются, хотя, когда мы движемся по диагонали?

Скажем, vx = vy = 1. Как долго длится этот вектор (эквивалентно, какова скорость, которую он описывает)?

Euclidean                              Manhattan

sqrt(v.x*v.x + v.y * v.y)              abs(v.x) + abs(v.y)
sqrt(1 * 1 + 1 * 1)                    abs(1) + abs(1)
sqrt(2)                                1 + 1
1.414...                               2

Вы можете видеть, что эти метрики на самом деле не согласуются для диагональных линий.

Давайте на графике нанесем набор точек, которые каждая метрика говорит на расстоянии 1 от начала координат:

Наша знакомая евклидова метрика - красный круг. Это множество всех точек x, y, таких что x ^ 2 + y ^ 2 = 1. Вы можете видеть, что оно вращательно-симметрично, и поэтому нам это нравится: оно аккуратно представляет идею, что расстояние не меняется с направление.

Манхэттенская метрика - это голубой бриллиант. Не очень подходит для нашего интуитивного представления о расстоянии - но это не делает его плохим. Во многих играх на основе тайлов, где вы двигаетесь дискретными шагами в четырех основных направлениях, метрика Манхэттена дает правильное расстояние между точками (с точки зрения «сколько ходов потребуется, чтобы добраться туда?»)

Наконец, я бросил методу Чебышева для удовольствия - это зеленый квадрат:

ChebyshevLength(v) = max(abs(v.x), abs(v.y))

Это также хорошо для игр на основе тайлов, где вы можете перемещаться по диагонали. Король в шахматах движется по методу Чебышева.

Я надеюсь, что это прояснит разницу между типичным кодом в пифагорейском стиле и приведенным выше примером.

Без Пифагора вы привязаны к фиксированной скорости на каждой оси. У вас есть x-speed, y-speed и (в трехмерном мире) z-speed, которые не зависят друг от друга. Любое движение будет выровнено по этой перпендикулярной оси.

Однако с Пифагором у вас есть скорость, которая может быть постоянной под любым углом. Это позволяет вам заставить сетку исчезать и иметь объекты, движущиеся с постоянной скоростью в любом возможном направлении.

Область, в которой объект перемещается за одну секунду, выглядит без Пифагора (например, метрика Чебышева):

И это с Пифагором:

Последнее обычно кажется гораздо более естественным во многих случаях.