Как вычислить касательные и битангентные векторы

У меня есть текстура, загруженная в three.js, затем переданная в шейдеры. В вершинном шейдере я вычисляю нормаль и сохраняю в переменную вектор uv.

<script id="vertexShader" type="x-shader/x-vertex">

                varying vec3 N,P;
                varying vec2 UV;

                void main() {
                    gl_Position= projectionMatrix * modelViewMatrix * vec4(position,1.0);
                    P= position;
                    N= normalMatrix * vec3(normal);
                    UV= uv;
                }
            </script>
            <script id="fragmentShader" type="x-shader/x-fragment">

                varying vec3 N,P;
                varying vec2 UV;
                uniform sampler2D texture;

                void main() {
                    gl_FragColor= texture2D(texture,UV);
                }

            </script>

Как вычислить векторы T и B?

Прежде всего, для каждой трехмерной вершины существуют бесконечные касательные и двух касательные векторы. Изображение ниже объясняет, почему существует бесконечное количество касательных пространств для каждой вершины, касательная и битангенс могут иметь любое направление в показанной плоскости.

Таким образом, чтобы правильно рассчитать наиболее полезное ¹ касательное пространство, мы хотим, чтобы наше касательное пространство было выровнено так, чтобы ось x (касательная) соответствовала направлению u на карте рельефа, а ось y (битангенс) соответствовала направлению v на карте рельефа у нас уже должна быть нормаль вершины, которая уже соответствует направлению Z в касательном пространстве.

_{(1) наиболее полезно, потому что в конце мы хотим, чтобы нормальные векторы выбирались из текстуры}

Это лучше всего объяснить с помощью рисунков, мы хотим, чтобы наше касательное пространство было выровнено, как (u, v)показано ниже.

Источник изображения, хотя и не строго связан с компьютерной графикой

В компьютерной графике разработчики обычно используют (u,v)также известные как текстурные координаты. Мы будем предполагать, что T является касательной, а B является битангенсом и P0является нашей целевой вершиной, которая является частью треугольника (P0,P1,P2).

Сначала запомните, что мы хотели сделать, это вычислить тангенс и битанет, чтобы:

1. T выровнен с u, а B выровнен с v.
2. T и B лежат в плоскости с нормалью вершины (плоскость, показанная на рисунке выше).

Дело в том, что мы уже предположили, что T и B лежат в одной плоскости и теперь соответствуют U и V, если мы можем знать их значения, мы можем скрестить произведение и третий вектор, чтобы построить матрицу преобразования из мира в касательное пространство.

Учитывая, что мы знаем, что любой 2D-вектор может быть записан как линейная комбинация двух независимых векторов ^2, и поскольку у нас уже есть точки треугольника (ребра), показанные на изображении выше. Мы можем написать:

E1 = (u1-u0) T + (v1-v0) B

E2 = (u2-u0) T + (v2-v0) B

_{(2) на самом деле, именно так получается базисная матрица}

Вышеупомянутое уравнение может быть записано в виде матрицы,

| E1x E1y E1z |   | deltaU1 deltaV1 | * | Tx Ty Tz |
| E2x E2y E2z | = | deltaU2 deltaV2 |   | Bx By Bz |

Решая уравнение матриц, мы можем определить значения T и B и построить матрицу преобразования.

Полный исходный код на C ++

#include "Vector4D.h"


struct Triangle
{
    unsigned short  index[3];
};


void CalculateTangentArray(long vertexCount, const Point3D *vertex, const Vector3D *normal,
        const Point2D *texcoord, long triangleCount, const Triangle *triangle, Vector4D *tangent)
{
    Vector3D *tan1 = new Vector3D[vertexCount * 2];
    Vector3D *tan2 = tan1 + vertexCount;
    ZeroMemory(tan1, vertexCount * sizeof(Vector3D) * 2);

    for (long a = 0; a < triangleCount; a++)
    {
        long i1 = triangle->index[0];
        long i2 = triangle->index[1];
        long i3 = triangle->index[2];

        const Point3D& v1 = vertex[i1];
        const Point3D& v2 = vertex[i2];
        const Point3D& v3 = vertex[i3];

        const Point2D& w1 = texcoord[i1];
        const Point2D& w2 = texcoord[i2];
        const Point2D& w3 = texcoord[i3];

        float x1 = v2.x - v1.x;
        float x2 = v3.x - v1.x;
        float y1 = v2.y - v1.y;
        float y2 = v3.y - v1.y;
        float z1 = v2.z - v1.z;
        float z2 = v3.z - v1.z;

        float s1 = w2.x - w1.x;
        float s2 = w3.x - w1.x;
        float t1 = w2.y - w1.y;
        float t2 = w3.y - w1.y;

        float r = 1.0F / (s1 * t2 - s2 * t1);
        Vector3D sdir((t2 * x1 - t1 * x2) * r, (t2 * y1 - t1 * y2) * r,
                (t2 * z1 - t1 * z2) * r);
        Vector3D tdir((s1 * x2 - s2 * x1) * r, (s1 * y2 - s2 * y1) * r,
                (s1 * z2 - s2 * z1) * r);

        tan1[i1] += sdir;
        tan1[i2] += sdir;
        tan1[i3] += sdir;

        tan2[i1] += tdir;
        tan2[i2] += tdir;
        tan2[i3] += tdir;

        triangle++;
    }

    for (long a = 0; a < vertexCount; a++)
    {
        const Vector3D& n = normal[a];
        const Vector3D& t = tan1[a];

        // Gram-Schmidt orthogonalize
        tangent[a] = (t - n * Dot(n, t)).Normalize();

        // Calculate handedness
        tangent[a].w = (Dot(Cross(n, t), tan2[a]) < 0.0F) ? -1.0F : 1.0F;
    }

    delete[] tan1;
}

Полный исходный код и вывод можно найти здесь .