Как рассчитать ближайшую точку на 2 кривых?

Учитывая точки линии и квадратичную кривую Безье, как рассчитать их ближайшую точку? .... Точно так же, учитывая точки 2 кривых, как вы получите ближайшую точку?

Вот моя попытка. Следующие алгоритмы далеки от совершенства , но они просты, и я считаю, что вам следует начать с этого, проверить, работают ли они в вашей ситуации, и переключиться на что-то более быстрое и / или более точное позже.

Идея заключается в следующем:

• Пример кривой Безье, найти ближайшую точку на этом образце
• Пример окрестности вокруг найденной точки, найти новую ближайшую точку
• Продолжайте, пока точка больше не изменится

Алгоритм расстояния от кривой Безье до линии

Кривая Безье параметризуется функцией, F(t)использующей набор контрольных точек и переменный параметр t. Количество генерирующих очков неважно.

Линия параметризуется двумя точками Aи B.

1. Пусть SAMPLES = 10например

2. Начните с t0 = 0иt1 = 1

3. Позволять dt = (t1 - t0) / SAMPLES

4. Если dt < 1e-10(или любое другое условие точности вы посчитаете нужным), алгоритм закончен и ответF(t0) .

5. Вычислить список SAMPLES + 1точек на кривой Безье:

   • L[0] = F(t0)
   • L[1] = F(t0 + dt)
   • L[2] = F(t0 + 2 * dt)
   • ...
   • L[SAMPLES] = F(t0 + SAMPLES * dt)

6. Найти, какая точка Lс индексом iближе всего к линии. Используйте любой метод расстояния между точками и линиями, который вы знаете, например, квадратное расстояние, ||AB^L[i]A||² / ||AB||²где ^обозначает перекрестное произведение и ||…||является расстоянием.

7. Если i == 0установить i = 1; если i == SAMPLESустановитьi = SAMPLES - 1

8. Пусть t1 = t0 + (i + 1) * dtиt0 = t0 + (i - 1) * dt

9. Вернитесь к шагу 3.

Алгоритм расстояния от кривой Безье до кривой Безье

На этот раз у нас есть две кривые Безье, параметризованные F(t)и G(t).

1. Пусть SAMPLES = 10например

2. Начните с t0 = 0, t1 = 1, s0 = 0иs1 = 1

3. Позволять dt = (t1 - t0) / SAMPLES

4. Позволять ds = (s1 - s0) / SAMPLES

5. Если dt < 1e-10(или любое другое условие точности вы посчитаете нужным), алгоритм закончен и ответF(t0) .

6. ЕСЛИ это первый запуск цикла:

   6.1. Вычислить список SAMPLES + 1точек F( см. Выше ).

   6.2. Вычислить список SAMPLES + 1точек наG .

   6.3. Найдите, какая пара точек ближе всего друг к другу.

   6.4. Обновление t0, t1, s0, s1как показано выше.

7. ELSE : в качестве альтернативы вычислить список точек на F OR список точек G, а затем найти какой точке Fнаходится ближе всего к G(s0)и обновлению t0и t1, ИЛИ какая точка Gнаходится ближе всего к F(t0)и обновлению s0и s1.

8. Вернитесь к шагу 3.

вопросы

По своей структуре эти алгоритмы всегда будут сходиться к локальному минимуму. Тем не менее, нет никакой гарантии, что они сойдутся к лучшему решению. В частности, алгоритм кривой Безье совсем не очень хорош, и в случае, когда две кривые находятся близко друг к другу во многих местах, вы, к сожалению, можете пропустить решение в долгосрочной перспективе.

Но, как я уже сказал, прежде чем начать думать о более надежных решениях, вы должны сначала поэкспериментировать с этими простыми.

1) Переведите все на одну ось, поэтому вместо необходимости вычислять длину одной точки, «линия», «линия» - это, скажем, ось Y.

Тогда, учитывая кривую Безье, я бы сказал, что все зависит от количества контрольных точек.

Если их три (начало, «контроль» и конец), я бы сделал какое-то сканирование (скажем, каждый на пару процентов, а затем уточнил бы между ближайшими (скажем, «двоичный» подход).

Больше очков я бы опробовал пару, которая была ближе всего к (переводится по оси Y).

Я уверен, что математик может дать вам точное решение (по математике), но если вы хотите найти решение / в видеоигре, вам может быть лучше, если решение будет немного нормальным, поскольку реальное решение может содержать несколько ответов ( Я даже не говорю о вычислительной мощности).

Некоторые ответы со страницы блога Algorithmist , которая правильно находит ближайшую точку на заданной квадратичной кривой Безье.

Demo .

Для кривой Безье - случай прямой линии, наиболее точный способ найти ответ заключается в следующем:

1. Преобразуйте задачу так, чтобы прямая линия всегда была горизонтальной при Y = 0. Это делается путем умножения всех контрольных точек на соответствующую аффинную матрицу. (Я предполагаю, что вы знакомы с представлением аффинных преобразований плоскости с матрицами 3x3 с 3 фиксированными записями.)
2. Проверьте координаты Y контрольных точек. Если они не имеют одинаковый знак, может быть пересечение с линией. Вычислить корни Y части кривой Безье. Вы можете использовать любой метод поиска корней для полиномов, их много в литературе. Например, гугл «выпуклый корпус» - это достаточно хороший метод для полиномов, используемых в кривых Безье. Каждый корень, который вы найдете, является значением времени пересечения с линией, где расстояние равно нулю - ваша работа выполнена.
3. Если все координаты Y имеют один и тот же знак, вычислите производную части Y кривой Безье. Вы можете игнорировать координаты X точек, поскольку они не имеют значения - линия цели горизонтальна. Найти корни этой производной. Это значения времени, в которые кривая локально находится ближе всего к линии.
4. Точно оцените кривую Безье для всех корней, которые вы нашли в предыдущем шаге, и сообщите корень, который дает наименьшее расстояние от линии. Вам также необходимо проверить конечные точки - они могут дать меньшее расстояние, чем любой корень.