Добавление воздушного сопротивления в уравнение траектории мяча для гольфа

Я занимаюсь разработкой 2D-игры в гольф в VB.NET 2005, но я застрял в том, как реализовать сопротивление воздуха или ветра, которое должно влиять на мяч.

Уже у меня есть эти уравнения для снаряда:

$v_0$ для начальной скорости мяча для гольфа при ударе или увольнении
Вертикальные и горизонтальные составляющие скорости мяча для гольфа:
$\begin{aligned} v_{x} & = v_{0} c o s (θ) \\ v_{y} & = v_{0} s i n (θ) - g t * \end{aligned}$ $\begin{align} v_x &= v_0 cos(\theta) \\ v_y &= v_0 sin(\theta) - gt* \end{align}$
Вертикальное и горизонтальное расстояние мяча для гольфа:
$\begin{aligned} x & = v_{0} c o s (θ) t \\ y & = v_{0} s i n (θ) t - (0.5) g t^{2} \end{aligned}$ $\begin{align} x &= v_0cos(\theta)t \\ y &= v_0sin(\theta) t - (0.5)gt^2 \end{align}$

Как добавить воздушное сопротивление в это уравнение, чтобы правильно влиять на скорость мяча для гольфа? Я понятия не имею, как это сделать, кто-нибудь работал с подобными уравнениями?

c# mathematics physics projectile-physics

— кузнец
источник

Я не уверен, существует ли вообще замкнутая форма для перетаскивания или ветра, но довольно просто смоделировать поэтапно (как это делают все физические библиотеки):

установить ваше начальное условие:

$x, y, v_{x}, v_{y} (for t = 0)$ $x, y, v_x, v_y \; (\text{for }t=0)$
обновить позицию:

$x = x + (v_{x} \times d t) y = x + (v_{y} \times d t)$ $x = x + (v_x \times dt) \\ y = x + (v_y \times dt)$
(где dt - время, прошедшее с момента последнего обновления, то есть время дельты)
рассчитать эти помощники скорости:

$\begin{aligned} v^{2} & = (v_{x})^{2} + (v_{y})^{2} \\ | v | & = \sqrt{v^{2}} \end{aligned}$ $\begin{align} v^2 &= (v_x)^2 + (v_y)^2 \\ \lvert v \rvert &= \sqrt{v^2} \end{align}$
(где представляет длину ) $\lvert v \rvert$ $v$
рассчитать силу сопротивления:

$f_{d r a g} = c \times v^{2}$ $f_{drag} = c \times v^2$
(где с - коэффициент трения малый! )
накапливать силы:

$\begin{aligned} f_{x} & = (- f_{d r a g} \times \frac{v_{x}}{| v |}) \\ f_{y} & = (- f_{d r a g} \times \frac{v_{y}}{| v |}) + (- g \times m a s s) \end{aligned}$ $\begin{align} f_x &= \left(-f_{drag} \times {v_x \over \lvert v \rvert}\right) \\ f_y &= \left(-f_{drag} \times {v_y \over \lvert v \rvert}\right) + (-g \times mass) \end{align}$
(где - масса вашего мяча для гольфа) $mass$
скорость обновления:

$v_{x} = v_{x} + f_{x} \times \frac{d t}{m a s s} v_{y} = v_{y} + f_{y} \times \frac{d t}{m a s s}$ $v_x = v_x + f_x \times \frac{dt}{mass} \\ v_y = v_y + f_y \times \frac{dt}{mass}$

Это в основном метод Эйлера для аппроксимации этой физики.

Немного подробнее о том, как симуляция, как просили в комментариях:

Начальное условие в вашем случае $(t = 0)$

\begin{aligned} x & = 0 \\ y & = 0 \\ v_{x} & = v_{0} \times c o s (θ) \\ v_{y} & = v_{0} \times s i n (θ) \end{aligned}

$\begin{align} x &= 0 \\ y &= 0 \\ v_x &= v_0 \times cos(\theta) \\ v_y &= v_0 \times sin(\theta) \end{align}$

Это в основном так же, как в вашей базовой формуле траектории, где каждое вхождение t заменяется на 0.

Кинетическая энергия справедлива для каждого . Смотрите как в (3) выше. $KE = 0.5m(V^2)$ $t$ $v^2$
Потенциальная энергия также всегда верна. $PE = m \times g \times y$
Если вы хотите получить текущий для данного , вам нужно инициализировать симуляцию для и делать небольшие обновления dt, пока $(x,y)$ $t_1$ $t = 0$ $t = t_1$
Если вы уже вычислили для и хотите узнать их значения для где , все, что вам нужно сделать, - это рассчитать эти маленькие шаги обновления dt с до $(x,y)$ $t_1$ $t_2$ $t_1 \lt t_2$ $t_1$ $t_2$

Псевдо-код:

simulate(v0, theta, t1)
  dt = 0.1
  x = 0
  y = 0
  vx = v0 * cos(theta)
  vy = v0 * sin(theta)
  for (t = 0; t < t1; t += dt)
    x += vx * dt
    y += vy * dt
    v_squared = vx * vx + vy * vy
    v_length = sqrt(v_squared)
    f_drag = c * v_squared
    f_grav = g * mass
    f_x = (-f_drag * vx / v_length)
    f_y = (-f_drag * vy / v_length) + (-f_grav)
    v_x += f_x * dt / mass
    v_y += f_y * dt / mass
  end for
  return x, y
end simulate

— Йонас Бетел
источник

Большое вам спасибо за это, я постараюсь вернуться к вам.

— Смит

Из этих уравнений, которые вы предоставили, я хотел бы получить текущие значения X & Y для заданного времени (t), должен ли я заменить свое Vo на V_x, а Vo на v_y? Также, если мне нужно будет добавить исходное КЕ, с которого был запущен мяч, это KE=0.5*m*(V*V)будет действительно?

— Смит

@ Смит Я отредактирую свой ответ, чтобы учесть твои вопросы

— Йонас Бетел

это именно то, что я сделал, и х всегда отрицательный, почему?

— Смит