Почему Mach 0.3 является порогом, разделяющим сжимаемый и несжимаемый поток?

Я читал, что число Маха 0.3 в значительной степени является верхним пределом для обработки воздуха как несжимаемой жидкости. Источники, которые я прочитал, похоже, воспринимают это как данность, без доказательств и оправданий.

Почему это предел? Есть ли математическое обоснование для этого? Кроме того, это ограничение распространяется только на воздух? Если нет, то от чего зависит предел?

fluid-mechanics

— Павел
источник

Википедия приводит причину Маха 0,3 как из-за того, что это достигает ~ 5% изменения плотности.

Я нашел страницу НАСА, которая описывает (аналитически!) Отношения. Я процитировал источник, но я воспроизведу здесь работу для потомков, если их ссылки изменятся.

Начнем с сохранения импульса:

(ρ V) d V = - d p

$(\rho V) dV = -dp \\$

где $\rho$ - плотность жидкости, $V$ - скорость, а $p$ - давление. для изоэнтропического потока:

\frac{d p}{p} = γ \frac{d ρ}{ρ} d p = (\frac{γ p}{ρ}) d ρ

$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\$

где $\gamma$ - коэффициент удельной теплоемкости. Закон идеального газа дает:

p = ρ R T

$p = \rho R T \\$

где $R$ - удельная газовая постоянная, а $T$ - абсолютная температура. Итак, подставив:

d p = γ R T d ρ

$dp = \gamma R T d\rho$

Скорость звука можно рассчитать по:

γ R T = a^{2}

$\gamma R T = a^2 \\$

где $a$ - скорость звука, а значит:

d p = a^{2} d ρ

$dp = a^2 d\rho \\$

Подставляя вышеприведенное выражение в уравнение сохранения импульса, получаем:

(ρ В) d В знак равно - a^{2} d ρ - (\frac{В^{2}}{a^{2}}) d В / В знак равно d ρ / ρ - M^{2} d В / В знак равно d ρ / ρ

$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\$

$M$

Как примечание, это основано на числе Маха, которое, в свою очередь, зависит от скорости звука в газе, поэтому оно автоматически регулируется для каждого газа.

— цыпленок
источник

@Paul это происходит от сохранения импульса. это не столько «правило», сколько предложение. если вас не волнует изменение плотности (или других величин) на 10% (или выше), используйте несжимаемые соотношения для больших чисел Маха. если вы делаете заботы о небольших изменениях плотности, а затем использовать сжимаемые отношения даже при малых числах Маха

— costrom

Это не просто плотность. Когда мы безразмерны уравнения, мы получаем безразмерные группы. Практическое правило заключается в том, что если безразмерная группа меньше 0,1, мы можем игнорировать соответствующие термины. В случае числа Маха оно отображается в квадрате. Итак, мы хотим (число Маха) ^ 2 <0,1. Это примерно дает 0,3. Это не только плотность - в основном все вещи, которые изменяются с более высокой скоростью, будут затронуты примерно на 10%, как только число Маха достигнет 0,3.

— Джоэл

@Joel - Для контекста, OP спрашивал конкретно о сжимаемости, поэтому этот ответ охватывает только плотность.

— Чак

Я бы пояснил, что это не четкая разделительная линия. Если у вас более низкий допуск к ошибкам, начните использовать сжимаемое решение при меньших числах Маха. Если вам все равно, продолжайте предполагать несжимаемость при больших числах Маха. 10% - это произвольный выбор того, сколько ошибок «действительно имеет значение», а 0,3 математически, но не менее произвольно, выпадает из этого.

— Хоббс

@ chuck - здесь придирчиво, но трактовать что-то как несжимаемую жидкость означает, что я могу сказать, что расхождение поля скоростей равно 0. Это влияет гораздо больше, чем просто плотность - до такой степени, что когда я иду на разговор и кто-то говорит он предполагает, что это несжимаемая жидкость, обычно это не утверждение о плотности.

— Джоэл