Реакция системы на ступенчатую функцию (функция Хевисайда)

Я хотел бы вычислить реакцию на ступенчатую функцию электрической / тепловой системы. Как правило, я могу «легко» вычислить передаточную функцию : $H$

ЧАС (ω) знак равно \frac{В_{о U T} (ω)}{В_{я N} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

Поскольку преобразование Фурье ( ) функции Хевисайда (вычислено с помощью WA): $\mathcal{F}$

F (θ (T)) знак равно В_{я N} (ω) знак равно \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{я}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

Следовательно, отмечая обратное преобразование Фурье: $\mathcal{IF}$

В_{о U T} (T) знак равно я F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{я}{\sqrt{2 π} ω}) ЧАС (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

Чтобы проверить свою математику, я попытался вычислить ответ для простой системы RC:

Я должен получить хорошо известный заряд конденсатора. Передаточная функция:

ЧАС (ω) знак равно \frac{1}{1 + я ω р С}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

$\mathcal{IF}$ $R=C=1$

Это было бы правильно, если бы мы шли в обратном направлении во времени: /. Итак, вопрос в том ... Что я делаю не так?

Я сделал то же самое, используя преобразования Лапласа, и все работает нормально ... Но я не понимаю, почему.

PS Я не хочу другого метода, я просто хочу понять, что не так в моем подходе.

PS Причина, по которой я использую WA, заключается в том, что для моей более сложной системы мне нужно вычислять преобразования Фурье с использованием WA.

— Worldsheep
источник

Это не тот ответ, который вы ищете, но эта статья о том, как выполнить дискретное обратное преобразование Лапласа для практически любой передаточной функции, может быть вам интересна.

— user5108_Dan

Спасибо за интересную ссылку! Я все еще пытаюсь понять, зачем нужны преобразования Лапласа. Или лучше, почему преобразования Фурье не работают ...

— Worldsheep

Вы знакомы с преобразованиями Лапласа? Преобразования Лапласа и Фурье очень похожи, но я не достаточно хороший математик, чтобы описать точные различия. EE обычно работают в области s (преобразование Лапласа), которое будет таким же, как ваше уравнение H (w), если вы замените jw на s. Кроме того, вы, вероятно, получите лучший ответ, если разместите этот вопрос на сайте dsp.stackexchange.com. Эти ребята настроены на это.

— user5108_Dan

Да, я заметил, что EE всегда работает с Лапласом в этих случаях, и когда я попробовал это, он работал нормально! Но интуитивно я бы использовал Фурье. Я последую вашему совету и зайду на другой сайт!

— Worldsheep

Вы можете найти ответ на этот вопрос здесь: dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep

Основная причина, вероятно, связана с применением Wolfram Alpha обратного преобразования Фурье в качестве второго преобразования Фурье. Фактически, это «переворачивает время» - как это может быть показано математически :

$\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & знак равно я d, F^{1} знак равно F, \\ F^{2} & знак равно п, F^{4} знак равно я d, \\ F^{3} & знак равно F^{- 1} знак равно п \circ F знак равно F \circ п \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

Применяя преобразование Фурье 3 раза к системе, вы получите версию в обычное время. Поскольку волны согласованы по времени, это обычно не имеет значения.

— отметка
источник