Почему мы можем пренебречь инерционным (но не вязким) термином в Навье-Стоксе при малом расходе и высокой вязкости?

Почему мы можем пренебречь инерционным (но не вязким) термином в Навье-Стоксе при малом расходе и высокой вязкости?

Завершите Навье-Стокса:$\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=\rho g - \nabla P+ \mu \nabla ^2 \vec{v}$

Инерционный термин: .$\frac{D\vec{v}}{Dt}= \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}v_x+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}v_y+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}v_z$

И, как мы предполагаем, стационарный поток и низкая скорость: . Отсюда следует, что инерционный термин можно игнорировать.$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\approx0$

Однако в моем материале также указано, что будет доминирующим термином в этих обстоятельствах. Почему это не будет так, что а? ∇ 2 → v → ∂ 2 → $\mu \nabla ^2 \vec{v}$$\nabla ^2 \vec{v} \rightarrow \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2}\approx0 \rightarrow \mu \nabla ^2 \vec{v} \approx 0$

Обычно под низким расходом и высокой вязкостью подразумевается то, что мы имеем дело с так называемым потоком с низким числом Рейнольдса. Число Рейнольдса - это безразмерное число, представляющее собой отношение сил инерции ( ) и вязкой силы ( ): Для низких доминирующих вязких сил (ламинарный режим) и для высоких доминирующих сил (турбулентных режимов). Безразмерные числа типа$\rho U U$$\mu U/L$

$$\mathrm{Re}=\frac{\rho U U}{\mu U/L}=\frac{\rho U L}{\mu}$$ $\mathrm{Re}$$\mathrm{Re}$$\mathrm{Re}$естественным образом проявляется в процессе, известном как «масштабирование», в котором уравнения делаются безразмерными; благодаря этому процессу можно сказать, какие термины пренебрежимо малы, основываясь на значениях соответствующих безразмерных чисел. Для получения дополнительной информации проверьте мой ответ на этот вопрос.

Технически, говоря «низкий расход и высокая вязкость» недостаточно, чтобы сказать, что мы имеем дело с низким потоком потому что это также зависит от масштаба длины (обычно диаметр трубы и т. Д.) И плотности ( воздуха или воды), но обычно подразумевается, что это так.$\mathrm{Re}$$L$$\rho$

Теперь говорим для низкого расхода, что неверно; вы, вероятно, имеете в виду, что . Это оправдывает упрощение уравнений, говоря, что что физически означает, что инерционные члены совершенно незначительны по сравнению с вязкими членами. не подразумевает а низкий расход означает то время как может быть значительным. Рассмотрим оценку по порядку величины$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha \ll \mu\partial_\beta^2u_\alpha$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\approx0$$\partial_\beta u_\alpha$$\partial_\beta u_\alpha \sim U/L$; для малых значений (способствует снижению ) он может быть намного больше, чем порядок . Аналогичный анализ порядка величин вязких слагаемых показывает, что они будут еще более значительными. Следовательно, причина, по которой инерционные члены незначительны, а вязкие - нет.$L$$\mathrm{Re}$∂ 2 β U α ~ U / L $O(U)$$\partial_\beta^2 u_\alpha \sim U/L^2$

Поскольку последний член пропорционален , а не, термин может быть большим, даже если величина скорости мала. Рассмотрим простой случай не скользящего ламинарного потока в х-ориентированной трубе. Это однонаправленный поток, поэтому мы можем отбросить и и сосредоточиться на . Будем считать, что скорость потока мала. | → v | v ш $\nabla ^2 \vec{v}$$|\vec{v}|$$v$$w$$u$

Однако то, что обычно маленький, не означает, что мы можем сделать вывод, что также обычно маленький. На самом деле, чем уже труба, тем больше величина . Глядя на поле градиента горизонтальной скорости, мы видим, что оно направлено внутрь, к центру трубы, где скорость максимальна. Это означает, что мы имеем отрицательную дивергенцию, для которой величина зависит от резкости изменения скорости, а не от ее общей величины.∇ U ∇ $u$$\nabla u$$\nabla u$

Следовательно, не является незначительным, что, разумеется, является всего лишь Навье-Стоксом, точно предсказывающим тенденцию вязких сил вызывать падение давления в устойчивом состоянии горизонтальный поток в трубе (или вы можете назвать это необходимостью падения давления, чтобы усилить поток против вязких сил, как вам угодно). Отмените гравитационные и изменяющиеся во времени термины и убедитесь сами.$\nabla ^2 \vec{v} = \{-|\nabla ^2 u|, 0, 0\}$