Я хотел бы подойти к этому вопросу с математической точки зрения, которая может быть плодотворной, как обсуждалось в некоторых комментариях и ответах. Данные ответы полезны, однако я хотел бы добавить:
- Как правило, наименьшей доступной шкалой длины является характерная шкала длины.
- Иногда (например, в динамических системах) нет фиксированной шкалы длины, которую можно выбрать в качестве характеристической шкалы длины. В таких случаях часто можно найти динамический масштаб длины.
Характерные масштабы длины:
TL; DWTR: для,- характерная длина шкалы; для,представляет собой характерный масштаб длины. Это означает, что меньший масштаб длины (обычно) является характерным масштабом длины.R R / L » 1 LR/L≪1RR/L≫1L
Рассмотрим случай потока в трубе, обсуждаемый в других ответах; есть радиус но также длина трубы. Обычно мы принимаем диаметр трубы за характерную шкалу длины, но всегда ли это так? Что ж, давайте посмотрим на это с математической точки зрения; давайте определим безразмерные координаты:
L ˉ x = xRL
x¯=xLy¯=yRu¯=uUv¯=vVp¯=pρU2
Здесь, , , , является - координат и скорость весов , но не обязательно их характерные масштабы. Обратите внимание, что выбор шкалы давления действителен только для . Случай требует изменения масштаба.R U V x y P = ρ U 2 R e ≫ 1 R e ≪ 1LRUVxyP=ρU2Re≫1Re≪1
Преобразование уравнения непрерывности в безразмерные величины:
∇⋅u=0→∂x¯u¯+∂y¯v¯=0
это может быть только в том случае, если мы предполагаем или . Зная это, число Рейнольдса может быть переопределено:UVRL∼1VU∼RL
Re=URν=UVRLVLν=VLν=Re^
Аналогично, давайте преобразуем уравнения Навье-Стокса ( -компонент только для краткости):
мы видим число Рейнольдса, естественным образом возникающее как часть процесс масштабирования. Однако, в зависимости от геометрического отношения , уравнения могут потребовать масштабирования. Рассмотрим два случая:x
u⋅∇u=−1ρ∇p+ν△u
u¯∂x¯u¯+v¯∂y¯u¯=−∂x¯p¯+1Re[RL∂2x¯u¯+LR∂2y¯u¯]
R/L
Радиус трубы намного меньше, чем длина трубы (т. ):R/L≪1
Затем преобразованное уравнение будет иметь вид:
Здесь у нас есть проблема, потому что термин может быть очень большим, а правильно масштабированное уравнение имеет только коэффициенты или меньше. Поэтому нам нужно изменить масштаб координат , скорости и давления :
u¯∂x¯u¯+v¯∂y¯u¯=−∂x¯p¯+1ReLR∂2y¯u¯
1ReLRO(1)x¯v¯p¯x^=x¯(RL)αv^=v¯(RL)−αp^=p¯(RL)β
Этот выбор измененных величин гарантирует, что уравнение неразрывности останется в форме:
Навье-Стокса Уравнения в пересчете на пересчитанные величины дают:
которое правильно масштабируется с коэффициенты или меньше, когда мы принимаем значения . Это указывает на то, что шкала давления не нуждалась в перекалибровке, но шкалы длины и скорости были переопределены:
∂x^u¯+∂y¯v^=0
u¯∂x^u¯+v^∂y¯u¯=−∂x^p^+1Re∂2y¯u¯
O(1)α=−1,β=0x^=x¯LR=xRv^=v¯RL=v¯VU=vUp^=p¯=pρU2
и мы видим , что характерная длина и масштаб скорости для соответственно и не и , как предполагается , в начале , но и .xvLVRU
Радиус трубы намного больше, чем длина трубы (т.е. )R/L≫1 :
Затем преобразованное уравнение будет иметь вид:
Как и в предыдущем случае, может быть очень большим и требует изменения масштаба. За исключением этого времени нам требуется изменение масштаба координаты , скорости и давления :
Этот выбор масштабированных величин снова гарантирует, что уравнение непрерывности останется в форме:
u¯∂x¯u¯+v¯∂y¯u¯=−∂x¯p¯+1ReRL∂2x¯u¯
1ReRLy¯u¯p¯y^=y¯(RL)α=yLu^=u¯(RL)−αp^=p¯(RL)β
∂x¯u^+∂y^v¯=0
Уравнения Навье-Стокса в пересчете на пересчитанные величины дают:
который правильно масштабируется с коэффициентами или меньше, когда мы берем значения . Это указывает на то, что длина, скорости и шкалы давления были переопределены:
u^∂x¯u^+v¯∂y^u^=−∂x¯p^+1Re^∂2x¯u^
O(1)α=1β=−2y^=y¯RL=yLu^=u¯LR=u¯UV=uVp^=p¯(LR)2=p¯(UV)2=pρV2
и мы видим, что характерные масштабы длины, скорости и давления для соответственно , и - это не , , как предполагалось в начале, а , и ,xvpRUρU2LVρV2
В случае , если вы забыли точку этого все: для , характерный масштаб длины; для , представляет собой характерный масштаб длины. Это означает, что меньший масштаб длины (обычно) является характерным масштабом длины.R/L≪1RR/L≫1L
Динамические шкалы длины:
Рассмотрим диффузию вида в полубесконечную область. Поскольку оно бесконечно в одном направлении, оно не имеет фиксированной шкалы длины. Вместо этого масштаб длины устанавливается «пограничным слоем», медленно проникающим в область. Эта «длина проникновения», как иногда называют характеристическую шкалу длины, определяется как:
δ(t)=πDt−−−−√
где - коэффициент диффузии, а - время. Как видно, масштаб задействован, так как он полностью определяется диффузионной динамикой системы. Пример такой системы см. В моем ответе на этот вопрос.DtL