Сколько времени нужно, чтобы пыль осела из воздуха?

Чтобы сделать этот вопрос понятным, давайте добавим несколько упрощений.

Частицы пыли могут быть хорошо описаны как однородные сферы радиуса и плотности . $R$ $\rho$
Пространство замкнуто и объемного потока нет, т.е. воздух все еще находится в макроскопическом смысле.
Воздух при стандартной температуре и давлении (STP) ; и . $T=20\ ^\circ\mathrm{C}$ $P=1\ \mathrm{atm}$

В этих условиях, каково время оседания для частиц пыли? При каком размере / плотности броуновское движение воздуха становится важным?

fluid-mechanics air-quality

— Крис Мюллер
источник

Время оседания твердых частиц на воздухе зависит в основном от размера частиц. Различные силы становятся значительными в зависимости от того, о каком диапазоне размеров вы говорите, поэтому трудно дать ответ, который является одновременно кратким и точным.

Я сделаю все возможное, чтобы обобщить важные моменты, а не попугай ссылки; Тем не менее, что касается практического применения в области качества воздуха, я рекомендую текст « Контроль загрязнения воздуха» от Cooper & Alley . В частности, я собираюсь извлечь много деталей для этого ответа из Раздела 3.3: Поведение частиц в жидкостях.

Обзор гравитационного урегулирования

Пыль не ведет себя как бочче-шары Галилея ; мелкие частицы разных размеров падают с разной скоростью. Для твердых частиц изменение скорости осаждения обусловлено главным образом влиянием сил сопротивления.

Вы можете ожидать, что броуновское движение будет «жонглировать» очень маленькими частицами, удерживая их от оседания. Достаточно мелкие частицы пыли могут оставаться увлеченными бесконечно, но, фактически, это имеет больше отношения к воздуху, никогда не будучи совершенно неподвижным, чем к броуновскому движению. Что касается качества воздуха, мы заботимся о броуновском движении в основном при рассмотрении воздействия (например, на капли воды в мокром скруббере PM ) или осаждения (например, на листве вблизи дорог ). Ни один из этих механизмов не имеет отношения к случаю чистого гравитационного оседания.

В самом деле, когда твердая частица получает достаточно мало , чтобы начать рассматривать движение дискретных молекул воздуха, мы видим , что он на самом деле решает немного более быстро , чем закон Стокса подразумевает. Это когда мы применяем экспериментально определенный поправочный коэффициент скольжения Каннингема, чтобы уменьшить коэффициент сопротивления Стокса. Поправочный коэффициент в воздухе связан с диаметром частиц и длиной свободного пробега образом: $d_p$ $\lambda$

C = 1 + 2,0 \frac{λ}{d_{п}} [1,257 + 0,40 ехр (- 0,55 \frac{d_{п}}{λ})]

$C = 1 + 2.0 \frac{\lambda}{d_p} \left [ 1.257 + 0.40 \exp(-0.55 \frac{d_p}{\lambda}) \right ]$

Что касается того, что на самом деле означает «достаточно маленький», то текст Купера и Элли гласит:

Для частиц размером менее 1 микрона коэффициент коррекции скольжения всегда значителен, но быстро приближается к 1,0, когда размер частиц увеличивается более 5 микрон.

Это может быть достаточным основанием, чтобы сэкономить время или циклы обработки, необходимые для расчета поправочного коэффициента, когда все, что вас интересует, это относительно крупные частицы.

Уравнение движения

Мы можем вывести уравнение движения в одном измерении следующим образом.

Примените второй закон Ньютона к частице с точки зрения ее относительной скорости в жидкости. * $м_{п} v_{р}^{'} знак равно F_{грамм} - F_{В} - F_{D}$ $m_p v_r' = F_g - F_B - F_D$
Закон Стокса дает силу сопротивления в терминах вязкости жидкости, скорости и диаметра частицы; выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости. $м_{п} v_{р}^{'} знак равно м_{п} грамм - м_{a я р} грамм - 3 π μ d v_{р}$ $m_p v_r' = m_p g - m_{air} g - 3 \pi \mu d v_r$
Разделите на массу частицы. $v_{r}^{'} = g - \frac{m_{a i r}}{m_{p}} g - \frac{3 π μ d}{m_{p}} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{m_{air}}{m_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{m_p} v_r$
Выразите массу как произведение объема и плотности, где объем частицы и объем вытесненного воздуха одинаковы. $v_{r}^{'} = g - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}} g - \frac{3 π μ d}{ρ_{p} V} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{\rho_{air}}{\rho_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{\rho_p V} v_r$
Используя , упростите член силы сопротивления и переместите его в левую сторону. $V_{sphere} = \frac{1}{6} \pi d^3$ $v_{р}^{'} + \frac{18 μ}{ρ_{п} d^{2}} v_{р} знак равно (1 - \frac{ρ_{a я р}}{ρ_{п}}) грамм$ $v_r' + \frac{18 \mu}{\rho_p d^2} v_r = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

Это линейный ОДУ с известным коэффициентом (при STP), представляющим следующее характерное время для осаждения частиц:

τ знак равно \frac{ρ_{п} d^{2}}{18 μ}

$\tau = \frac{\rho_p d^2}{18 \mu}$

$\tau' = C \tau$

v_{р}^{'} + \frac{v_{р}}{τ^{'}} знак равно (1 - \frac{ρ_{a я р}}{ρ_{п}}) грамм

$v_r' + \frac{v_r}{\tau'} = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

_{* Система координат для этого примера определяется так, чтобы скорость падения была положительной.}

Предельная скорость

$\dfrac{\rho_{air}}{\rho_p}$ $v_r' = 0$

v_{T} знак равно τ^{'} грамм

$v_t = \tau' g$

\frac{v_{р}}{v_{T}} знак равно 1 - е^{\frac{- T}{τ^{'}}}

$\frac{v_r}{v_t} = 1 - e^{-t \over \tau'}$

$t = 4 \tau'$

Большая пыль

Это все хорошо для мелкой пыли, но как насчет большего вещества, которое попадает в ваши глаза и вызывает кашель? Что ж, плохие новости от Cooper & Alley:

Для частицы размером более 10–20 микрон, оседающей с ее конечной скоростью, число Рейнольдса слишком велико, чтобы анализ режима Стокса был действительным. Для этих более крупных частиц эмпирические средства необходимы для получения скорости осаждения ...

«Эмпирические средства» - это хороший способ сказать, что вы должны понять это сами или же привыкнуть к чтению диаграмм, которые строят кривые с уродливыми десятичными показателями для результатов предыдущих экспериментов.

— Воздуха
источник

v_{Терминал} знак равно \frac{2 грамм р^{2} (ρ_{частица} - ρ_{воздуха})}{9 μ}

$v_{\text{terminal}}=\frac{2gR^2(\rho_{\text{particle}}-\rho_{\text{air}})}{9\mu}$

μ

$\mu$

Я нашел более точные данные для частиц разных радиусов, приведенные в полураспадах; немного больше данных здесь .

График времени установления для угля, железа и цемента приведен здесь , дополнительно иллюстрирующий нелинейную обратную, экспоненциальная зависимость между радиусами пыли и времени осаждения.

Теория оседания применяется здесь к солнечным туманностям. Я не уверен, сколько именно формулы можно применить здесь, но некоторые могут быть полезны.

T знак равно \frac{ρ_{пыли}}{ρ_{воздуха}} \frac{р}{v_{тепловой}}

$t=\frac{\rho_{\text{dust}}}{\rho_{\text{air}}}\frac{R}{v_{\text{thermal}}}$

v_{тепловой} знак равно \sqrt{\frac{8 К_{В} T}{π μ м_{частица}}}

$v_{\text{thermal}}=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi \mu m_{\text{particle}}}}$

— HDE 226868
источник

Вы начинаете с «для отдельной частицы ...». Верна ли идея и для плотного тумана частиц?

— Триларион,

@Trilarion Это так, но вам придется делать разные расчеты для каждого.

— HDE 226868,

@Air Whoops, исправил математику. Что я имел в виду под высотой, так это то, что простое знание конечной скорости не позволит вам рассчитать время установления; Вам нужно знать начальные условия.

— HDE 226868,

Правда. Эти слайды туманности действительно интересны. Они поднимают еще одно ограничение подхода «однородной сферы», заключающегося в том, что субмикронные частицы имеют тенденцию соединяться друг с другом, образуя более крупные субмикронные и мелкие частицы. Некоторые из них также реактивны или образуются из прекурсоров в воздухе. Множество сложностей и область множества текущих исследований.

— эфир

@Air Учитывая то, как сильно я люблю астрофизику, и изучаемую конкретную область - диски для мусора, было совершенно неожиданно узнать что-то новое, исследуя что-то совсем другое - качество воздуха.

— HDE 226868,