Вывод для оценки собственной частоты моста в еврокодах

Еврокоды дают следующее уравнение для оценки «просто поддерживаемого моста, подверженного только изгибу» *:

$$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$$

где

• $n_0$ - собственная частотав герцах
• $\delta_0$ - прогиб в середине пролета при постоянных воздействияхв мм

Уравнение явно взято из воздуха, и нет объяснения, откуда взялась постоянная 17,75. Как инженер, я не хочу использовать формулу, которую я не понимаю, но более того, было бы полезно изучить основополагающие принципы, чтобы понять, можно ли изменить ее для работы с другими условиями поддержки.

Может ли кто-нибудь обеспечить происхождение / фундаментальное происхождение этих отношений?

* Полная ссылка: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Примечание 8] (уравнение 6.3), если это помогает.

Если мы упростим весь мост до двухмерного тонкого луча с постоянным размером сечения, без внутреннего демпфирования и только небольших вертикальных отклонений, то собственная частота определяется простым гармоническим движением:

$$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$$

Где - собственная частота, k - отношение восстановительной силы и прогиба (эквивалентная «жесткость пружины»), а m - масса на единицу длины балки.$n_0$$k$$m$

В балке восстановительной силой является внутренний сдвиг, вызванный отклоненной формой. Поскольку сила, проявляемая лучом, пропорциональна скорости изменения сдвига, которая связана с жесткостью ( ) и скоростью изменения момента, это может быть показано (примечание: отклонение пропорционально длине луч) что:$EI$

$$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$$

Где - модуль Юнга материала пучка, I - второй момент инерции сечения пучка, L - длина пучка, а α - постоянная, определяемая условиями поддержки и номером моды отклика.$E$$I$$L$$\alpha$

Вся литература, которую я видел, выражает это более удобным для уравнения частоты способом:

$$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$$

Подставляя обратно,

$$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$$

Расчет значения довольно сложен, и существует точный подход для простых решений и приближенных методов, включая метод свободной энергии и Роли Ритца. Здесь можно найти несколько отклонений для просто поддерживаемого луча .$K$

Следует отметить, что этого уравнения было бы достаточно, но поскольку для него требуется таблица для и вычисление значения E I , представляющего мост в виде однородного луча, авторы Еврокода, похоже, решили, что это будет лучше повторно интегрировать предположение, что k является постоянным вдоль луча.$K$$EI$$k$

Для этого они использовали следующие отношения:

$$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$$

Где - максимальный прогиб, C - постоянная, определяемая условиями опоры, w - постоянная равномерно распределенная нагрузка по длине балки.$\delta_0$$C$$w$

Под собственным весом , где g - ускорение под действием силы тяжести (9810 мм / с ² ; отклонение в этом уравнении дано в мм ).$w = gm$$g$

Поэтому (переставил :)

$$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

И так:

$$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

Общие значения и C можно найти в структурных таблицах - например, здесь и здесь , соответственно.$K$$C$

Для просто поддерживаемого луча:

15,764K

$$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$$ n0= $$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$$ $$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$$

Вот возможный ответ.

Я нашел этот документ (не уверен в точном источнике), который содержит связанный вывод:

В простой задаче гармонического движения гдеk- упругая жесткость, аm- масса, подвергающаяся вибрации.

$$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $k$$m$

, гдеFесть сила иδпрогиб. Таким образом, n0=

$$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$$ $F$$\delta$ $$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $a=12.4382$

Более подробная информация об этом содержится в книге Ладислава Фрыбы «Динамика железнодорожных мостов» (1996). Если вы прочитаете главу 4, вы увидите формулу 4.53 на странице 92:

$$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$$

$f_1$$v_{st}$

Это уравнение следует из формулы для отклонения в середине пролета несущей балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, мкг

$$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$$

который подставляется в

$$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$$

$$\lambda_1 = \pi$$

Подставляя эти уравнения друг в друга, используя g = 9,81 м / с ^ 2, получаем

$$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$$

Численная оценка этого уравнения дает желаемое уравнение.

Динамики для таких инженеров, как я, обычно занимающихся статикой, могут быть чреваты легкими ошибками и недоразумениями. Эта формула очень полезна для балок с простой опорой, поскольку она может быть быстро связана с приложенными собственными весовыми нагрузками и долей живой нагрузки (обычно 10%) без необходимости усложнения.

Консоли также могут использовать аналогичную постоянную (19,8 с UDL, 15,8 с нагрузкой на конечную точку). Все это ломается непрерывными балками и рамами.

Я строю естественную проверку частоты со всеми конструкциями луча, чтобы отслеживать ее. Например, для деревянных конструкций 8 Гц является целью, а для бетонных полов / стальных рам 4-6 Гц - в качестве первого прохода.

Есть также грубые и готовые методы для оценки динамических реакций вокруг. Я должен сказать, что динамика все еще ускользает и смущает меня и всегда будет! Поэтому я остаюсь максимально простым.