Как рассчитать минимальный радиус стержня, который можно изогнуть, оставаясь в упругом диапазоне?

Мне интересно, существует ли формула (или как ее получить) для расчета минимального радиуса, вокруг которого может быть согнут стержень (с данным радиусом / диаметром), оставаясь в диапазоне упругости. Очевидно, это будет зависеть от модуля упругости материала.

Я ищу общую формулу для этого, а не конкретное решение для конкретного материала. С помощью общей формулы я могу оценить компромиссы, используя разные материалы (с разными модулями), разные радиусы стержней и разные радиусы изгиба.

Проще говоря, если бы я хотел намотать стержень радиуса X из материала с модулем упругости M вокруг катушки, как бы я рассчитал минимальный радиус S катушки?

Если мы остаемся в рамках теории пучка, мы можем использовать этот подход, который действителен для любого материала, который демонстрирует линейно-упругое поведение до выхода:

Кривизна балки связана с приложенным моментом и его изгибной жесткостью:

$$ \ {Начать выравнивать} \ kappa = \ frac {M} {EI} \ Конец {} Align $$

где для круглого стержня $ I = \ frac {\ pi d ^ 4} {64} $. Кривизна также равна обратной величине радиуса изгиба, что дает следующее:

$$ \ {Начать выравнивать} R = \ frac {1} {\ kappa} = \ frac {EI} {M} \ Конец {} Align $$

Для стержня круглого сечения напряжение в крайнем волокне связано с приложенным изгибающим моментом и модулем упругого сечения:

$$ \ {Начать выравнивать} \ sigma = \ frac {M} {Z} \ Конец {} Align $$

где для круглого стержня $ Z = \ frac {\ pi d ^ 3} {32} $. Это дает:

$$ \ {Начать выравнивать} \ следовательно M = \ frac {\ sigma \ pi d ^ 3} {32} \ Конец {} Align $$

Поэтому, если данный материал имеет определенный предел текучести, $ \ sigma = f_y $, минимальный радиус может быть определен путем замены приведенных выше уравнений:

$$ \ {Начать выравнивать} R_ {min} = E \, \ frac {\ pi d ^ 4} {64} \ frac {32} {f_y \ pi d ^ 3} \ Конец {} Align $$

$$ \ {Начать выравнивать} \ boxed {\ следовательно R_ {min} = \ frac {E d} {2 f_y}} \ Конец {} Align $$

где $ E $ - модуль упругости материала, $ d $ - диаметр стержня, а $ f_y $ - предел текучести материала.

Ссылаться на этот решение вопроса 6а на стр. 8 для аналогичного решения для прямоугольного сечения. Обратите внимание, что конечный результат одинаков как для прямоугольника, так и для круга, поскольку оба имеют расстояние $ D / 2 $ от нейтральной оси до крайнего слоя.