Двумерная пластичность с радиальным возвратом

Примечание. Это дубликат вопроса, который я задал по физике, на который не было обращено никакого внимания.

Как правильно масштабировать девиаторные напряжения обратно на поверхность текучести в плоском напряжении 2D?

Я не могу получить метод радиального возврата для получения желаемых результатов в условиях простого напряжения в 2D. Я покажу это на примере в 3D и 2D в надежде, что моя ошибка станет очевидной.

Три измерения

Предположим, произвольный пробный Коши, тензор напряжений :

$\sigma_{tr} = \begin{bmatrix} 90 & 20 & 0 \\ 20 & 90& 0 \\ 0 & 0& 0 \end{bmatrix}$

Тогда гидростатическая составляющая определяется как: $\sigma_{tr,hyd} = \begin{bmatrix} 50 & 0 & 0 \\ 0 & 50& 0 \\ 0 & 0& 50 \end{bmatrix}$

А девиаторная составляющая по: $\sigma_{tr,dev} = \begin{bmatrix} 40 & 20 & 0 \\ 20 & 10& 0 \\ 0 & 0& -50 \end{bmatrix}$

Мы будем использовать критерий фон Мизеса, чтобы определить, находятся ли напряжения на поверхности текучести. Это рассчитывается как (для общего плоского напряжения):

$\sigma_v = \sqrt{\sigma_{11}^2-\sigma_{11}\sigma_{22}+\sigma_{22}^2+3\sigma_{12}^2} = 86.6025$

Для аргумента предположим, что предел текучести . В этом случае девиаторные напряжения должны быть уменьшены с коэффициентом . Таким образом, новый девиаторный стресс определяется как: $\sigma_y=80$ $\alpha={\sigma_y}/{\sigma_v}=0.9238$

$\sigma_{dev}=\alpha*\sigma_{tr,dev} = \begin{bmatrix} 36.95 & 18.48 & 0 \\ 18.48 & 9.24& 0 \\ 0 & 0& -46.19 \end{bmatrix}$

И уменьшенный назад

$\sigma=\sigma_{tr,hyd}+\sigma_{dev} = \begin{bmatrix} 86.95& 18.48 & 0 \\ 18.48 & 59.24& 0 \\ 0 & 0& 3.81 \end{bmatrix}$

Если мы вычислим соответствующее напряжение фон Мизеса, мы получим указывающее, что масштабирование было правильным. $\sigma_{v}=80$

Два измерения

Я не повторял много текста здесь для краткости. Проверьте страницу 157 здесь для подтверждения гидростатического напряжения в 2D, это просто . Предполагая плоскостное напряжение, тогда: $(\sigma_{11}+\sigma_{22})/2$

$\sigma_{tr} = \begin{bmatrix} 90 & 20 \\ 20 & 90 \\ \end{bmatrix}$ $\sigma_{tr,hyd} = \begin{bmatrix} 75 & 0 \\ 0 & 75 \\ \end{bmatrix}$ $\sigma_{tr,dev} = \begin{bmatrix} 15 & 20 \\ 20 & -15 \\ \end{bmatrix}$ $\sigma_v = 86.6025$

Проблема в том, что масштабирование девиаторных напряжений ( такое же, как и раньше) приводит к: $\alpha$

$\sigma_{dev}=\alpha*\sigma_{tr,dev} = \begin{bmatrix} 13.86 & 18.48 \\ 18.48 & -13.86 \\ \end{bmatrix}$

А потом:

$\sigma=\sigma_{tr,hyd}+\sigma_{dev} = \begin{bmatrix} 88.86& 18.48 \\ 18.48 & 61.14 \\ \end{bmatrix}$

Вычисление напряжения Фон Мизеса дает значение , которое находится вне поверхности урожайности. В чем здесь проблема? Как правильно масштабировать девиаторные напряжения обратно на поверхность текучести в 2D? $\sigma_{v}=85$

Обновление Я постепенно подхожу к идеалу, что этот метод радиального возврата подходит только для полной трехмерной или плоской деформации (в этом случае ). Страница 25 из этого, кажется, также указывает, что это так, но я все еще не уверен. $\sigma_{33}\neq0$

modeling stresses

— 1QuickQuestion
источник

Похоже, вы задаете хороший вопрос - может быть, мне не хватает терминологии, но что именно означает «радиальный возврат»? Есть ли ссылка, которая объясняет, что вы имеете в виду?

— theNamesCross

Благодаря upvotes я смог восстановить ссылки. Вот тот, который объясняет простой алгоритм радиального возврата .

— 1QuickQuestion

Давайте посмотрим на эту проблему математически а-ля Симо.

$\boldsymbol{\sigma}$ $\boldsymbol{s}$ Обратите внимание, что

σ знак равно {[σ_{11} σ_{22} σ_{12}]}^{T} а также s знак равно {[s_{11} s_{22} s_{12}]}^{T}

$\boldsymbol{\sigma} = \left[\sigma_{11}\, \sigma_{22}\, \sigma_{12}\right]^T \quad \text{and} \quad \boldsymbol{s} = \left[s_{11}\, s_{22}\, s_{12}\right]^T$

σ_{33} = σ_{13} = σ_{23} = s_{23} = s_{13} = 0

$\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = s_{23} = s_{13} = 0$

s_{33} \neq 0

$s_{33} \ne 0$

s_{33}

$s_{33}$

s_{11} + s_{22} + s_{33} = 0

$s_{11} + s_{22} + s_{33} = 0$

$\bar{\mathsf{T}}$ $\boldsymbol{\sigma}$ $\boldsymbol{s}$ $\boldsymbol{s} = \bar{\mathsf{T}}\,\boldsymbol{\sigma}$ $\boldsymbol{\varepsilon}$ $\boldsymbol{e}$

ε знак равно {[ε_{11} ε_{22} 2 ε_{12}]}^{T} а также е знак равно {[е_{11} е_{22} 2 ε_{12}]}^{T}

$\boldsymbol{\varepsilon} = \left[\varepsilon_{11}\,\varepsilon_{22}\, 2\varepsilon_{12}\right]^T \quad \text{and} \quad \boldsymbol{e} = \left[e_{11}\, e_{22}\, 2\varepsilon_{12}\right]^T$

\bar{T}

$\bar{\mathsf{T}}$

T

$\mathsf{T}$

T знак равно \frac{1}{3} [\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{matrix}]

$\mathsf{T} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$

е знак равно \sqrt{\frac{3 s : s}{2}} - σ_{Y}

$f = \sqrt{\frac{3\, \boldsymbol{s}:\boldsymbol{s}}{2}} - \sigma_Y$

е знак равно \sqrt{\frac{3 σ^{T} T σ}{2}} - σ_{Y}

$f = \sqrt{\frac{3\, \boldsymbol{\sigma}^T\,\mathsf{T}\,\boldsymbol{\sigma}}{2}} - \sigma_Y$

{\dot{ε}}^{п} знак равно \dot{λ} T σ где ε^{п} знак равно {[ε_{11}^{п} ε_{22}^{п} 2 ε_{12}^{п}]}^{T}

$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^p = \dot{\lambda}\,\mathsf{T}\,\boldsymbol{\sigma} \quad \text{where} \quad \boldsymbol{\varepsilon}^p = \left[\varepsilon_{11}^p\,\varepsilon_{22}^p\, 2\varepsilon_{12}^p\right]^T$

Обновить

, где представляет собой плоскостьстресс матрицы жесткости, мы можем использовать правило потокачтобы показатьчто

σ знак равно С ε^{е}

$\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{C}\,\boldsymbol{\varepsilon}^e$

C

$\mathsf{C}$

3 \times 3

$3\times 3$

σ_{N + 1} знак равно {[С^{- 1} + Δ λ T]}^{- 1} С^{- 1} σ_{N + 1}^{пробный}

$\boldsymbol{\sigma_{n+1}} = \left[\mathsf{C}^{-1} + \Delta\lambda\mathsf{T}\right]^{-1} \mathsf{C}^{-1} \boldsymbol{\sigma_{n+1}}^{\text{trial}}$

Δ λ = \dot{λ} Δ t

$\Delta\lambda = \dot{\lambda} \Delta t$

f (σ_{n + 1}) = 0

$f(\sigma_{n+1}) = 0$

Δ λ

$\Delta\lambda$

— Бисваджит Банерджи
источник

Можете ли вы подтвердить, что

T σ = [s_{11} s_{22} 2 s_{12}]^{T}

$T \sigma = [s_{11}\ s_{22} \ 2s_{12}]^T$

f = \sqrt{σ_{11}^{2} - σ_{11} σ_{22} + σ_{22}^{2} + 3 σ_{12}^{2}} - σ_{Y}

$f = \sqrt{\sigma_{11}^2-\sigma_{11}\sigma_{22}+\sigma_{22}^2+3\sigma_{12}^2} - \sigma_Y$

α = σ_{Y} / σ_{V M}

$\alpha = \sigma_Y / \sigma_{VM}$

Которые должны быть

\bar{T}

$\bar{T}$

T

$T$

σ_{n + 1}

$\sigma_{n+1}$

f (σ_{n + 1}) = 0

$f(\sigma_{n+1})=0$

\dot{λ}

$\dot{\lambda}$

n + 1

$n+1$

\sqrt{\frac{3 σ_{n + a}^{T} T σ_{n + 1}}{2}} = σ_{y}

$\sqrt{\frac{3\sigma_{n+a}^TT\sigma_{n+1}}{2}}=\sigma_y$