Какова физическая интерпретация собственных значений матрицы жесткости в методе конечных элементов?

Для заданного уравнения движения незатухающей системы , обозначает матрицу масс, матрицу жесткости, смещение, зависящее от времени, и приложенная сила. Корни, , уравнения указывают частоты колебаний. $\mathbf{M}\mathbf{\ddot{q}} + \mathbf{K}\mathbf{q} = \mathbf{f}$ $\mathbf{M}$ $\mathbf{K}$ $\mathbf{q}$ $\mathbf{f}$ $\omega^2$ $det(\mathbf{K} - \omega^2\mathbf{M}) = 0$

Мой вопрос: какова физическая интерпретация собственных значений матрицы жесткости ? $\mathbf{K}$

structural-engineering finite-element-method

— Х. Вабри
источник

Предположим, 1-й вариант уравнения. Тогда матрица K становится k , пружинной постоянной.

В 1-D уравнение сводится к: $m \ddot{q} + kq = f$

Матрица q также становится вектором x в одном измерении. Это дифференциальное уравнение для системы с принудительной массой-пружиной. (@Jmac добавил 1-е уравнение)

Точно так же физический смысл собственных значений матрицы состоит в том, насколько жесткой является система в соответствующем направлении собственного вектора. И как таковой, это определяет, насколько упругое положение / движение сила вызывает в системе.

Наиболее интересными собственными значениями / векторами K являются нулевые собственные значения. Они соответствуют движениям твердого тела конструкции. Эти собственные векторы могут быть полезной проверкой для структур, которые содержат движущиеся соединения и т. Д., Где число движений твердого тела не должно быть равно 6. Они также могут показывать проблемы с моделью FE, например, режимы «песочных часов», вызванные неправильным выбором элементов. (Спасибо @alephzero за этот параграф)

— Гюркан Четин
источник

Отличный ответ. Я просто хочу немного расширить, чтобы сказать, что все уравнение, приведенное к 1-D, дает вам

которое является дифференциальным уравнением для системы с принудительной массой-пружиной.

m \ddot{q} + k q = F

$m \ddot{q} + kq = F$

— JMac

Наиболее интересными собственными значениями / векторами K являются нулевые собственные значения, которые соответствуют движениям твердого тела конструкции. Это может быть полезной проверкой для конструкций, которые содержат движущиеся соединения и т. Д., Где число движений твердого тела не должно быть равно 6. Они также могут показывать проблемы с моделью FE, например, режимы «песочные часы», вызванные неправильным выбором элементы.

— alephzero

Спасибо за дополнения, я включу их в ответ для дальнейшего использования. @alephzero

— Гюркан Четин

@JMac спасибо за расширение. У меня было мало времени, поэтому я не стал подробно останавливаться на 1D версии. Добавлю в ответ.

— Гюркан Четин

Вот почему первая мода структуры часто (всегда?) Является изгибной модой, это мода, которая содержит меньше упругой энергии, чем крутильная мода. Кроме того, естественно, что мода первого порядка, например, балки, имеет более низкое собственное значение, чем мода изгиба более высокого порядка, поскольку она вызывает меньшую нагрузку на балку и, таким образом, содержит меньше упругой энергии.

— Х. Вабри

$\mathbf{K}$

$\ell$ $\delta$ $\theta$ $\mathbf{f} = \mathbf{K} \mathbf{x}$

| \begin{matrix} F \\ M \end{matrix} | знак равно [\begin{matrix} \frac{48 Е я}{ℓ^{3}} & - \frac{18 Е я}{ℓ^{2}} \\ - \frac{12 Е я}{ℓ^{2}} & \frac{6 Е я}{ℓ} \end{matrix}] | \begin{matrix} δ \\ θ \end{matrix} |

$\begin{vmatrix} F \\ M \end{vmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{48 E I}{\ell^3} & -\frac{18 E I}{\ell^2} \\ -\frac{12 E I}{\ell^2} & \frac{6 E I}{\ell} \end{bmatrix} \begin{vmatrix} \delta \\ \theta \end{vmatrix}$

$[1\;0]$ $[0\;1]$

— ja72
источник