Что на самом деле означает «высвобождение конца пучка» и как оно моделируется в математических терминах?

Я читаю документ о выпуске конца луча Вот :

Окончательный выпуск позволит одному или обоим концам элемента балки   вращаться вокруг или перемещаться вдоль одной или нескольких локальных осей   луч.

И статья продолжается со следующей диаграммой:

(а) Фиксированный фиксированный луч с точкой шарнира в 1 и 2.

(б) теоретическое вращение или наклон балок. Обратите внимание, как результат прерывист в точках петли.

Понимание, которое я получаю из вышесказанного, заключается в том, что если мы выпустим на конце балки, то он станет шарнирным (и, следовательно, вращение на конце не будет непрерывным) - и все. Это правда?

Если это правда, то я не понимаю момент выпущен срок в программном обеспечении RISA:

Я даже не уверен, связаны ли окончание выпуска балки и момент окончания выпуска, и если да, то как.

Каким образом математически моделируются окончание выпуска пучка и момент окончания выпуска?

Математически освобождение достигается путем придания нулевой жесткости.

Разблокировка в ротации аналогична отпусканию в момент: единственный способ обеспечить непрерывность вращения от одного элемента к другому - это передать момент между ними. Следовательно, момент конечного высвобождения представляет собой нулевую жесткость относительно вращения вокруг соответствующей оси.

Технически, вы можете освободить конец балки с любой степенью свободы (отсюда и последний вариант от RISA). На практике подавляющее большинство используемых конечных выпусков являются моментальными, поэтому ваш первый источник объединил их.

Окончание выпуска луча и окончание момента - это одно и то же: это можно представить как преобразование фиксированного конца луча в поворотный (см. Позже), ослабление ограничения на вращение и применение нового ограничения на изгибающий момент. Идея применения ограничений к концам луча полезна для понимания математического смысла в замене фиксированного конца луча на поворотный и обсуждается ниже.

Любой непрерывный элемент балки при малых отклонениях регулируется следующим дифференциальным уравнением:

$$ \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} \ left (E (x) I (x) \ frac {d ^ 2 u} {dx ^ 2} \ right) + q (x) = 0 $$

Где $ E (x) $ - модуль Юнга пучка, $ I (x) $ - второй момент площади вокруг оси изгиба для поперечного сечения луча, $ u (x) $ - смещение вверх луч, а $ q (x) $ - нисходящая сила на единицу длины, действующая на балку. $ x $ - это координата такая, что для луча длины $ L $, $ x = 0 $ на одном конце и $ x = L $ на другом конце.

Это уравнение является дифференциальным уравнением четвертого порядка и поэтому требует четырех граничных уравнений. Это делается путем применения двух ограничений на каждом конце. Существует три разных типа конца луча, каждый из которых имеет свои ограничения:

FIXED END

Здесь конец балки жестко закреплен, например, на стена. Этот конец позволяет передавать как поперечные силы, так и изгибающие моменты от балки к стене. Конец балки здесь не может ни вращаться, ни вертикально перемещаться. Это похоже на конец луча, показанный на первой диаграмме вашего вопроса перед тем, как отпустить любой конец.

Если конец в $ x = 0 $ был фиксированным концом, применяются следующие два ограничения:

Нет вертикального смещения $ u (0) = 0 $

Нет вращения $ \ theta (0) = \ frac {du (0)} {dx} = 0 $

PIVOTED END

Это ваш выпущенный моментом конец: луч все еще может не смещаться по вертикали на конце, но он может вращаться. Однако, поскольку он может вращаться, луч больше не может передавать изгибающие моменты на опору, поэтому изгибающий момент нуля должен быть установлен в конце. Отсюда момент выпуска.

Если конец в $ x = 0 $ был повернут, применяются следующие ограничения:

Нет вертикального смещения $ u (0) = 0 $

Нет изгибающего момента $ M (0) = 0 $

Где $ M (x) = - E (x) I (x) \ frac {d ^ 2 u} {dx ^ 2} $

БЕСПЛАТНО КОНЕЦ

Этот тип конца луча ни с чем не связан: он может свободно перемещаться и вращаться на концах. Однако никакие изгибающие моменты или сдвиговые усилия не могут передаваться с конца, так как ничего не прикреплено.

Если конец в $ x = 0 $ свободен, применяются следующие ограничения:

Нет изгибающего момента $ M (0) = 0 $

Нет сдвигающего усилия $ S (0) = 0 $

Где $ S (x) = - \ frac {d} {dx} \ left (E (x) I (x) \ frac {d ^ 2 u} {dx ^ 2} \ right) $

Обратите внимание, что кантилевер - это балка с одним фиксированным концом и одним свободным концом, а балка с простым опором имеет оба конца, повернутые.

После установки двух ограничений на каждом конце можно получить общее решение дифференциального уравнения, позволяющее определить вертикальное смещение, вращение, кривизну, изгибающие моменты и силы сдвига.

Луч может двигаться по 3 осям x, y, z и изгибаться по 3 осям и вращаться вдоль оси x (кручение). Во всех и в каждом из этих случаев поддержка может действовать различными способами, разрешать свободное движение, не разрешать движение, разрешать движение с сопротивлением, придавать заранее сконфигурированные жесткие ограничения, как в случае стержней до / после натяжения или без них. гибкое заранее спроектированное смещение для загрузки элемента в желаемом положении.

Освобождение одного конца означает снятие одного или нескольких или всех этих ограничений. Я работал с Рисой, это хорошее программное обеспечение FEM, но 25 лет назад у меня не было хорошей версии. Например, пружинное ограничение или предварительно установленное жесткое смещение.