Математическое доказательство того, что среднеквадратичное напряжение, умноженное на среднеквадратичное значение тока, дает среднюю мощность


10

Я знаю, что это правда, потому что я прочитал это из авторитетного источника. Я также интуитивно понимаю, что мощность пропорциональна квадрату напряжения или тока для резистивной нагрузки, и что «S» в RMS означает «квадрат». Я ищу серьезное математическое доказательство.

Пусть обозначает ток в момент , а также обозначает напряжение в этот момент. Если мы можем измерить напряжение и ток во все моменты времени, а есть моментов, тогда средняя кажущаяся мощность равна:яяяВяN

пзнак равно1NΣязнак равнояNяяВя

Что является элегантным математическим доказательством того, что

пзнак равноярMSВрMS

достигает того же результата для резистивных нагрузок?


Если я правильно помню, должно быть доказательство того, что RMS является наиболее близким приближением к действительному значению сигнала за интересующий период времени. Используя это, мы могли бы доказать, что . К сожалению, кажется, я потерял книгу, в которой было доказательство этого. :(пзнак равноярмsВрмsзнак равно1T2-T1T1T2В(T)я(T)dT
AndrejaKo

Среднеквадратичное значение тока, умноженное на среднеквадратичное напряжение, не равняется средней мощности. Это равно (средняя) кажущаяся сила. Если у вас есть нерезистивные нагрузки, это может иметь значение.
Кто-то, кто-то поддерживает Монику

Ответы:


16

Закон Ома

1:В(T)знак равноя(T)р

Мгновенное рассеяние мощности является произведением напряжения и тока

2:п(T)знак равноВ(T)я(T)

Замените 1 на 2, чтобы получить мгновенную мощность через резистор в терминах напряжения или тока:

3:п(T)знак равноя2(T)рзнак равноВ2(T)р

Средняя мощность определенно представляет собой интеграл мгновенной мощности за период, деленный на этот период. Замените 3 на это, чтобы получить среднюю мощность в терминах напряжения и тока.

4:пavгзнак равно0Tп(T)dTTзнак равнор0Tя2(T)dTTзнак равно0TВ2(T)dTрT

Определение действующего значения тока

5:IRMS=0TI2(t)dtT
Квадрат с обеих сторон
6:IRMS2=0TI2(t)dtT
Умножьте на R, чтобы найти уравнение 4 для средней мощности
7:IRMS2R=R0TI2(t)dtT=Pavg
Определение среднеквадратичного напряжения
8:VRMS=0TV2(t)dtT
Квадрат с обеих сторон
9:VRMS2знак равно0TВ2(T)dTT
Разделите на R, чтобы найти уравнение 4 для средней мощности
10:ВрMS2рзнак равно0TВ2(T)dTрTзнак равнопavг
Умножьте выражения 7 и 10 для средней мощности
11:пavг2знак равноВрMS2ярMS2
Квадратный корень с обеих сторон
12:пavгзнак равноВрMSярMS
QED

6

Очень простое доказательство (в случае дискретной выборки в вопросе) заключается в замене E / R на I в уравнении RMS

xrms=1n(x12+x22+x++xn2).

и очень простая алгебра.

И да, это правда, потому что указано, что у нас чисто резистивная нагрузка, поэтому нет проблемы фазового угла и нет гармоники, присутствующей в I, которая также отсутствует в E.

РЕДАКТИРОВАТЬ

определение RMS для дискретных точек (из Википедии):

xrms=1n(x12+x22++xn2)

VRMS=1n(V12+V22++Vn2)

IRMS=1n(I12+I22++In2)

and by Ohm’s Law

Ii=Vi/R
substitution:

IRMS=1n((V1/R)2+(V2/R)2++(Vn/R)2)

then:

IRMS=1n(V12/R2+V22/R2++Vn2/R2)

Pulling out the 1/R^2

IRMS=1R1n(V12+V22++Vn2)

so:

VRMSIRMS
is:

1/R(1n(V12+V22++Vn2))

distributing the 1/R:

(1n(V12/R+V22/R++Vn2/R))

Using Ohm’s Law substitution again:

(1n(V1I1+V2I2++VnIn))

which is:

1ni=inIiVi

If the algebra is simple, can you show us? You can use LaTeX markup to typeset the math.
Phil Frost

4
Thanks for the encouragement. I hadn't used LaTex since 1983.
George White

0

The key is that for a resistive load, the voltage and current are in phase.

If the voltage and current are both sin(t), then then their product is given by the equality sin2(t)=1/2+1/2sin(2t). The power is a sine wave of twice the frequency, which oscillates about 1/2. This is its average over time (the "mean" of the "square"). The root of the mean square is 1/2=1/2=2/20.707. That's where we get that magic number.

The root mean square voltage or current are the DC equivalent voltage and current that will produce the same power dissipation over time. If the average power dissipation is 1/2 W, then such a power dissipation can be steadily produced by 2/2 VDC multiplied by 2/2 A DC.

If current and voltage are out of phase 90 degrees (pure reactive load), then we can think of one as being cos(t) and the other being sin(t). The applicable equality is then sin(t)cos(t)=1/2sin(2t). The power waveform is no longer "biased" to oscillate around 1/2; its average is zero: power flows into and out of the load on alternate half cycles, as the power waveform swings positive and negative.

So to answer the question, the RMS voltage and current are defined based on the mean power: each one is derived from the square root of the mean power. Multiplying two values together that are obtained from the square root of the mean power, recovers mean power.


I think Stephen Colling's answer is the best. It does not rely on the details of the waveform and covers the continuos case. Also, "The root mean square voltage or current are the DC equivalent voltage and current that will produce the same power dissipation over time" seems to answer the question by assuming the answer and then going in a circle to get the answer.
George White

-2

Lets simplify more this issue without math. Take this simple circuit that is produce a square waveform with a period of 10 sec.

введите описание изображения здесь

The voltage is like this

введите описание изображения здесь

and current is

введите описание изображения здесь

Then the power waveform will be

введите описание изображения здесь

Когда переключатель разомкнут, на резистор не подается питание, поэтому общая энергия составляет 10 Вт x 5 секунд = 50 Дж, и это то же самое, что мы применяем 5 Вт за 10 секунд. введите описание изображения здесь

и это средняя мощность. Среднее напряжение составляет 5 вольт, а средний ток 0,5 ампер. При простом расчете средняя мощность составляет 2,5 Вт или 25 Дж, что не соответствует действительности.

Итак, давайте сделаем этот трюк с этим заказом:

  1. Первый квадрат напряжения (и тока)

  2. Второе возьмите среднее значение квадрата

  3. Затем возьмите квадратный корень из среднего

Квадрат формы волны напряжения будет

введите описание изображения здесь

И в среднем 50 В ^ 2 (не 50 ^ 2 вольт). С этого момента забудьте о форме волны. Только ценности. Квадратный корень из вышеуказанного значения составляет 7071… вольт RMS. При поступлении того же тока будет найдено 0,7071..А RMS, а средняя мощность составит 7,071В х 0,7071А = 5 Вт

Если вы попытаетесь сделать то же самое со среднеквадратичной мощностью, результат будет бессмысленным 7 071 Вт.

Таким образом, единственная эквивалентная мощность нагрева - это средняя мощность, и единственный способ рассчитать это использовать среднеквадратичные значения напряжения и тока.


Разве мы не можем рассчитать среднюю мощность, рассеиваемую в резисторе, как среднюю мгновенную мощность? Где математическое доказательство того, что ОП запросил?
Джо Хасс

Для некоторых сложных волновых форм мы должны интегрировать их, используя временные интервалы, близкие к нулю, для точных средних значений. Я вообще избегаю использовать любую математику, поэтому я использую прямоугольную волну, которая очень легко понять значение среднего. RMS также является средним значением.
GR Tech

Мне кажется, что вы показываете, что фактическая средняя мощность составляет 5 Вт, и что RMS V * RMS I = 5 Вт, демонстрируя, для этого случая, что OP является правильным. Вы также показываете, что в этом случае средняя V * средняя I = 2,5 Вт.
Джордж Уайт

Хорошо я понял. Снова проблема языка. Я пытался сказать, что расчет Vavg x Iavg не верен. Спасибо, что отговорили меня!
GR Tech

Если «Среднеквадратичное значение также является средним значением», то почему среднеквадратичное значение напряжения линии электропередачи не равно 0,0 В, как среднее значение?
Джо Хасс
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.