Разница между естественным ответом и вынужденным ответом?

Справка

Второй пост на EdaBoard.com

Временной отклик системы - это временная эволюция переменных. В цепях это будет форма волны напряжения и тока в зависимости от времени.

Естественный отклик - это отклик системы на начальные условия со всеми внешними силами, установленными на ноль. В цепях это будет реакция цепи на начальные условия (например, начальные токи на катушках индуктивности и начальное напряжение на конденсаторах), когда все независимые напряжения установлены на ноль вольт (короткое замыкание), а источники тока установлены на ноль ампер (разомкнутая цепь) ). Естественная реакция цепи будет продиктована постоянными времени цепи и общими корнями уравнения характеристик (полюсов).

Принудительный ответ - это ответ системы на внешний стимул с нулевыми начальными условиями. В цепях это будет просто реакция цепи на внешнее напряжение и функцию форсирования источника тока ... продолжить чтение

Вопросов

1. Как может быть даже естественный ответ? Что-то должно быть введено, чтобы создать выход? То, как я это вижу, похоже на поворот главной водяной линии, а затем включение крана и ожидание выхода воды.

2. Как мы можем v(t)(по ссылке выше) решить, если не знаем dv(dt), чтобы найти естественный ответ?

3. Если вы можете расширить эти 2 понятия (естественный ответ и вынужденный ответ), объяснив их различия в терминах Леймана, это было бы прекрасно.

1. Дано уравнение 10dy/dt + 24y = 48означает rate of change of output + 24 * output = 48. Начальные условия y(0)=5и dy/dt=0.
   • Это будет означать, что вход является 48/(24*5)правильным предположением? Решение этой проблемы - 0.4какой постоянный вклад?

Подумайте о простой механической системе, такой как упругий стержень или блок, прикрепленный к пружине против силы тяжести, в реальном мире. Всякий раз, когда вы даете системе импульс (на блок или на планку), они начинают колебаться, и вскоре они перестают двигаться.

Есть способы, которыми вы можете проанализировать такую ​​систему. Два наиболее распространенных способа:

1. Полное решение = гомогенное решение + частное решение

2. Полный ответ = естественное возобновление (нулевой вход) + принудительный ответ (нулевое состояние)

Поскольку система одна и та же, оба должны приводить к одному и тому же конечному уравнению, представляющему одинаковое поведение. Но вы можете разделить их, чтобы лучше понять, что каждая часть означает физически (особенно второй метод).

В первом методе вы думаете больше с точки зрения системы LTI или математического уравнения (дифференциального уравнения), где вы можете найти его однородное решение, а затем его конкретное решение. Гомогенное решение можно рассматривать как переходную реакцию вашей системы на этот вход (плюс его начальные условия), а конкретное решение можно рассматривать как постоянное состояние вашей системы после / с этим входом.

Второй метод более интуитивен: естественный отклик означает, что система реагирует на свое первоначальное состояние. И принудительный ответ - это то, что является ответом системы на данный вход, но без начальных условий. Думая об этом примере бара или блока, который я привел, вы можете себе представить, что в какой-то момент вы толкаете планку руками и держите ее там. Это может быть ваше начальное состояние. Если вы просто отпустите его, он будет колебаться, а затем остановится. Это естественный ответ вашей системы на это состояние.

Также вы можете отпустить его, но все равно продолжаете давать дополнительную энергию системе, ударяя по ней несколько раз. Система будет иметь свой естественный отклик, как и раньше, но также покажет некоторое дополнительное поведение из-за ваших дополнительных попаданий. Когда вы найдете полный ответ вашей системы вторым методом, вы сможете ясно увидеть, как естественное поведение системы обусловлено этими начальными условиями и каков ответ системы, если она имела только входные данные (без начальных условий). Они оба вместе будут представлять все поведение системы.

И обратите внимание, что ответ нулевого состояния (принудительный ответ) также может состоять из «естественной» части и «конкретной» части. Это связано с тем, что даже при отсутствии начальных условий, если вы дадите вход в систему, она будет иметь переходный ответ + ответ постоянного состояния.

Пример ответа: представьте, что ваше уравнение представляет следующую схему:

Какой ваш выход у (т) является током цепи. И представьте, что ваш источник является источником постоянного тока + 48В. Таким образом, суммируя напряжение элемента в этом замкнутом пути, вы получите:

$\epsilon=V_L+V_R$

Мы можем переписать напряжение индуктора и резистора в терминах тока:

$\epsilon=L\frac{di}{dt} + Ri$

Если у нас есть источник питания + 48 В постоянного тока и L = 10H и R = 24 Ом, то:

$48=10\frac{di}{dt}+24i$

это точное уравнение, которое вы использовали. Таким образом, ваш вход в систему (цепь RL) - это только напряжение питания + 48В. Итак, ваш вклад = 48.

У вас есть начальные условия: y (0) = 5 и y '(0) = 0. Физически это означает, что в момент = 0 мой ток в цепи составляет 5А, но он не меняется. Вы можете подумать, что что-то произошло ранее в цепи, которая оставила ток в индуктивности 5А. Таким образом, в данный момент (начальный момент) он имеет те 5А (у (0) = 5), но не увеличивается и не уменьшается (у '(0) = 0).

Решая это:

$Ae^{st}$

$\epsilon=0$

$10sAe^{st} + 24Ae^{st} = 0$

$Ae^{st}(10s + 24)=0$

$s=-2,4$

Так,

$i_{ZI}(t)=Ae^{-2,4t}$

Поскольку мы знаем, что я (0) = 5:

$i(0)=5=Ae^{-2,4 . 0}$

$A=5$

$i_{ZI}(t)=5e^{-2,4t}$

$t=+\infty$

Теперь мы можем найти конкретное решение уравнения, которое будет представлять постоянное состояние из-за наличия источника питания (вход):

$i(t)=c$$c$

Так,

$\frac{di}{dt}=0$

затем,

$48 = 0.10 + 24c$

$c=2$

$i(\infty)=2$

что также имеет смысл, потому что у нас есть источник питания постоянного тока. Таким образом, после переходного отклика включения источника питания постоянного тока индуктор будет вести себя как провод, и у нас будет резистивная цепь с R = 24 Ом. Тогда у нас должно быть 2А тока, так как на блоке питания 48В.

Но учтите, что если я просто добавлю оба результата, чтобы найти полный ответ, мы получим:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t}$

Теперь я все испортил в переходном состоянии, потому что если я положу t = 0, мы больше не найдем i = 5, как раньше. И мы должны найти i = 5, когда t = 0, потому что это заданное начальное условие. Это связано с тем, что ответ Zero-State имеет естественный термин, которого нет, а также имеет тот же формат, что и ранее. Добавляя это там:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{st}$

Постоянная времени та же самая, поэтому она оставила нам только B:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{-2,4t}$

И мы знаем, что:

$i(t) = 2 + 5 + B = 5$

Так,

$B=-2$

Тогда ваше полное решение:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} - 2e^{-2,4t}$

Вы можете думать об этом последнем слагаемом, который мы находим как поправочный термин принудительного ответа, чтобы соответствовать начальным условиям. Другой способ найти это - представить ту же систему, но без начальных условий. Тогда, снова решив весь путь, мы получим:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t}$

Но так как мы сейчас не рассматриваем начальные условия (i (0) = 0), то:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t} = 0$

И когда t = 0:

$A=-2$

поэтому принудительный (нулевой) ответ вашей системы:

$i_{ZS}(t) = 2 - 2e^{-2,4t}$

Это немного сбивает с толку, но теперь вы можете смотреть на вещи с разных точек зрения.

-Гомогенные / Частные решения:

$i(t) = i_p(t)+i_n(t) = 2 + 3e^{-2,4t}$

Первый член (2) является частным решением и представляет постоянное состояние. Остальная часть правой части - переходный отклик, также называемый однородным решением уравнения. В некоторых книгах это также называется «Естественный отклик» и «Принудительный отклик», поскольку первая часть - это принудительная часть (из-за источника питания), а вторая часть - переходная или естественная часть (характеристика системы). Я думаю, что это самый быстрый способ найти полный ответ, потому что вам нужно найти постоянное состояние и естественный ответ только один раз. Но может быть не ясно, что представляет собой что.

-Нулевой вход / нулевое состояние:

$i(t) = i_{ZS}(t)+i_{ZI}(t) = 2 - 2e^{-2,4t} + 5e^{-2,4t}$

$2 - 2e^{-2,4t}$

$5e^{-2,4t}$

Некоторые люди также называют это естественным / принудительным форматом ответа. Естественной частью будет нулевой ввод, а Принудительной частью будет нулевое состояние, которое, кстати, состоит из естественного термина и конкретного термина.

Опять же, все они дадут вам один и тот же результат, который отражает поведение всей ситуации, включая источник питания и начальные условия. Просто отметьте, что в некоторых случаях может быть полезно использовать второй метод. Один хороший пример - когда вы используете свертки, и вы можете найти импульсный отклик для вашей системы с нулевым состоянием. Таким образом, нарушение этих терминов может помочь вам ясно видеть вещи, а также использовать подходящий термин для свертывания.

Как может быть даже естественный ответ? Что-то должно быть введено, чтобы создать выход?

Если это помогает, воспринимайте естественную реакцию как вынужденную реакцию на импульсный вход.

То, как я это вижу, похоже на поворот главной водяной линии, а затем включение крана и ожидание выхода воды.

Представьте, что водопровод подключен к большому накопительному резервуару, как в колодезных системах водоснабжения, и вы закрываете клапан к водопроводу.

Резервуар заполнен водой и находится под давлением до давления водопровода, прежде чем вы закроете клапан. Это начальное условие .

Если вы откроете кран, вода выйдет . Удерживающий резервуар будет поставлять воду в течение некоторого периода времени, поскольку накопительный резервуар опустеет, и давление на кране упадет. Этот сокращающийся поток воды и пониженное давление были бы естественной реакцией системы.

Теперь, после опустошения резервуара, вы быстро открываете водопроводный клапан, пока кран еще открыт.

Первоначально большая часть потока воды предназначена для «зарядки» накопительного резервуара, и, по мере того, как резервуар заполняется и давление повышается, вода стекает с возрастающей скоростью из крана до тех пор, пока резервуар не заполнится и поток и давление не стабилизируются.

Это принудительный ответ на шаг ввода .

Это проблема с учебниками, в которых не все четко определено, чтобы каждый мог понять определения. Естественный отклик на самом деле говорит о системе, которая (в какой-то момент) была «заряжена» так, что элементы накопления энергии содержат некоторое количество начальной энергии, которая может переводиться в начальное напряжение в конденсаторе или в начальный ток в индукторе. Это приводит к значениям начальных условий для конденсаторов или катушек индуктивности. Затем, в момент времени t = 0, предполагается, что магический источник, который был ответственен за подачу питания в цепь, мгновенно удаляется. Итак, если магический источник был источником напряжения, то «снятие его» могло бы означать его физическое удаление или отключение от цепи. Итак, в момент времени t = 0, естественным откликом будет просто поведение, возможно, тока через индуктор или конденсатор или напряжения на конденсаторе или индукторе. И цепь питается только от этих изначально заряженных компонентов (потому что мы предполагаем, что нет «внешнего» входного источника в течение времени t = 0 и далее).

Итак, для естественного отклика, это действительно тот случай, когда «когда-то» был какой-то внешний вход для создания начальных условий в катушках индуктивности и конденсаторах. Теперь, если система не была заряжена с самого начала, чтобы все напряжения и токи конденсатора и катушки индуктивности были нулевыми, то каков был бы естественный отклик системы? Ответ: ноль.

Теперь принудительный отклик - это отклик схемы (такой как поведение напряжения или тока) для случая, когда мы предполагаем, что у катушек индуктивности и конденсаторов нет начальной энергии, что означает отсутствие начального напряжения или начальных токов в этих компонентах. , И затем, внезапно, мы прикладываем внешнюю силу (источник) ко входу схемы. Поведение токов и / или напряжений цепи для этого сценария просто называется .... называемым принудительным ответом. По сути, это ответ на вход источника, основанный на предположении, что мы начали с нулевых начальных условий энергии в индукторах и конденсаторах.

После того, как мы использовали методы для удобного получения естественного ответа и принудительного ответа, мы просто складываем обе части, чтобы получить полную картину. Вроде как принцип суперпозиции.

Я не знаком с термином «принудительный ответ» в этом контексте, но здесь идет. Многие системы можно охарактеризовать как первый порядок плюс мертвое время (FOPDT). «Естественный ответ» такой системы на стимул - это начальная задержка, за которой следует экспоненциальный подход к новому устойчивому состоянию.

Представьте себе нагревательный элемент, питаемый от источника переменного напряжения. Начальные условия - отключение питания и нагреватель при температуре окружающей среды. Включите, скажем, 10 вольт. В течение короткого времени (мертвое время) температура нагревателя не изменяется. Затем температура начинает быстро расти, сначала быстро, затем постепенно оседая в новом устойчивом состоянии. Если вы внимательно следите за временем, у вас будут три естественные характеристики системы:

1. Усиление - выражается в градусах / вольт. Если 10 вольт вызвали усиление на 20 градусов, тогда усиление = 2. Так что для 20 вольт вы должны ожидать 40-градусное увеличение от окружающей.
2. Dead time - задержка, ожидаемая в ответ на изменение ввода. (Инерционность)
3. Постоянная времени или собственная частота - время от начала изменения до устойчивого состояния составляет 5 постоянных времени. (как зарядка конденсатора)

С помощью этих данных вы можете предсказать, какое изменение температуры ожидать для данного изменения напряжения и сколько времени это займет, то есть естественный отклик.

Я предполагаю, что «принудительный ответ» повлечет за собой чрезмерное стимулирование системы для получения более быстрого результата. Итак, чтобы увеличить 30 градусов, мы знаем, что нам нужно увеличить входное напряжение на 15 вольт. Кратковременно увеличивая напряжение на 25 вольт и затем откатывая 10 вольт, мы могли бы быстрее достичь желаемой конечной температуры, то есть «форсировать» более быстрый отклик.