Усиление и -3 дБ

У меня есть эти две схемы: введите описание изображения здесь

С «нормальным» OPAMP (без конденсаторов) я знаю, как рассчитать коэффициент усиления схемы ( $A=\dfrac{U_{uit}}{U_{in}}$ ) Но как мне это сделать с этими двумя конденсаторами? Но также, как я могу рассчитать, где точка -3 дБ находится на обеих цепях?

operational-amplifier amplifier

— SjonTeflon
источник

Если вы на мгновение уберете операционный усилитель, сможете ли вы рассчитать точку -3 дБ, если она была только для C1 / R1? Вы знаете формулу для A только для R1 / C1? И если вы посмотрите на неинвертирующий вход операционного усилителя, какой входной импеданс вы ожидаете?

— Джиппи

хорошо сопротивление конденсатора 1/jwc(где W омега)

— SjonTeflon

И я думаю, что на первом круге это что-то вродеR1/((1/jwc)+R1)

— SjonTeflon

Мои комплексные числа немного ржавые, но мне это кажется правильным.

— Джиппи

Конденсатор на английском языке представляет собой конденсатор BTW.

— Джиппи

Ответы:

Операционный усилитель в обеих цепях является просто повторителем напряжения с коэффициентом усиления 1, поэтому он не имеет значения для расчета коэффициента усиления.

Левая цепь представляет собой простой RC фильтр нижних частот, а правая цепь - простой RC фильтр нижних частот. Усиление каждого из них равно 1 в полосу пропускания. Находясь в полосе останова, усиление уменьшится на 6 дБ / октава или 20 дБ / декада частоты.

Точка спада любого типа фильтра - это когда величина полного сопротивления конденсатора равна сопротивлению. Уравнение для частоты:

F = 1 / (2 π RC)

Когда R в Омах и C в Фарадах, тогда F в Герцах. В вашем случае у вас есть 100 нФ и 3,3 кОм, поэтому частота спада каждого фильтра составляет около 480 Гц. На этой частоте фильтр будет ослабляться с коэффициентом квадратного корня, равным 2, или будет иметь коэффициент усиления -3 дБ. Усиление фильтра как функция частоты плавно изменяется, но после октавы или двух в любом направлении оно приближается к 20 дБ / десятилетие по сравнению с частотой спада с одной стороны и коэффициентом усиления единица с другой.

Левый фильтр - это верхняя частота, поэтому для частот выше 480 Гц он будет приближаться к единице усиления, когда частота становится выше. Приблизительно после 1 кГц усиление будет достаточно близко к 1 для большинства целей, безусловно, для любого обычного аудиоприложения. Значительно ниже 480 Гц он асимптотически приближается к затуханию с отношением 480 Гц к фактической частоте. Например, при 100 Гц он будет ослабляться в 4,8 раза, или усиление будет близко к -14 дБ.

Фильтр нижних частот справа работает так же, как и частота с переворотом около 480 Гц. При 100 Гц его усиление будет составлять почти 1, а при 3 кГц оно будет затухать близко к 3 кГц / 480 Гц = 6,25 раза для усиления -16 дБ.

— Олин Латроп
источник

Но также, как я могу рассчитать, где точка -3 дБ находится на обеих цепях?

В общем, вы найдете величину передаточной функции, установите ее равной $\dfrac{1}{\sqrt{2}}^*$ и решить для частоты.

Для простого фильтра 1-го порядка это почти тривиально. Во 2-й цепи напряжение на инвертирующем входе операционного усилителя составляет:

\begin{matrix} (1) & V_{+} = V_{i n} \frac{1}{1 + j ω R C} \end{matrix}

$V_+ = V_{in}\dfrac{1}{1 + j \omega RC} \tag{1}$

Умножьте на сопряженное, чтобы найти величину в квадрате :

\begin{matrix} (2) & | \frac{V_{+}}{V_{i n}} |^{2} = \frac{1}{1 + j ω R C} \frac{1}{1 - j ω R C} = \frac{1}{1 + (ω R C)^{2}} \end{matrix}

$|\dfrac{V_+}{V_{in}}|^2 = \dfrac{1}{1 + j \omega RC}\dfrac{1}{1 - j \omega RC} = \dfrac{1}{1 + (\omega RC)^2} \tag{2}$

Возьмите квадратный корень, чтобы найти величину:

\begin{matrix} (3) & | \frac{V_{+}}{V_{i n}} | = \frac{1}{\sqrt{1 + (ω R C)^{2}}} \end{matrix}

$|\dfrac{V_+}{V_{in}}| = \dfrac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \tag{3}$

Теперь легко увидеть, что это равно $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ когда $\omega = \dfrac{1}{RC} \tag{4}$

$^*20\log(\frac{1}{\sqrt{2}}) \approx -3dB$

— Альфред Центавра
источник

Ух, способ сделать простую вещь почти непробиваемой! Но +1, потому что это правильно и полно.

— Олин Латроп

@OlinLathrop Непроницаемый? Это самая базовая математика, с которой любой студент-второкурсник изучает схемы анализа цепей. Всегда хорошо знать математику за вещами.

— krb686

@OlinLathrop, если ½√2 в этом ответе верный, то я неправильно читаю ваш? «На этой частоте фильтр будет

— затухать

Моя сложная математика немного ржавая, я не понимаю, как вы переходите от (1) к (2). Я получаю

| \frac{V_{+}}{V_{i n}} |^{2}

$|\dfrac{V_+}{V_{in}}|^2$ , но я не понимаю, почему право может быть умножено на 1 / (1-jωRC). Я ожидаю, что это должно быть 1 / (1 + jωRC). Это просто объяснить, немного помочь моей увядающей памяти? Конечно, я понимаю, почему вы хотите +, а не -, но почему это разрешено?

— Джиппи

@jippie, величина комплексного числа или сложной функции

Z

$Z$ является

| Z | = \sqrt{Z Z^{*}}

$|Z| = \sqrt{ZZ^*}$ где

Z^{*}

$Z^*$ комплексное сопряжение

Z

$Z$ , Если

Z = a + j b

$Z = a + jb$ , тогда

Z^{*} = a - j b

$Z^* = a - jb$ , затем

Z Z^{*} = (a + j b) (a - j b) = a^{2} + b^{2}

$ZZ^* = (a + jb)(a - jb) = a^2 + b^2$ что реально.

— Альфред Центавра