Связь и различие между преобразованиями Фурье, Лапласа и Z

Я немного запутался в этих темах. Они все начали выглядеть одинаково для меня. Похоже, они имеют такие же свойства, как линейность, смещение и масштабирование, связанные с ними. Я не могу поставить их отдельно и определить цель каждого преобразования. Кроме того, какой из них используется для частотного анализа?

Я не смог найти (с Google) полный ответ, который решает эту конкретную проблему. Я хочу, чтобы их сравнивали на одной странице, чтобы я мог иметь некоторую ясность.

Преобразования Лапласа и Фурье являются непрерывными (интегральными) преобразованиями непрерывных функций.

Преобразование Лапласа отображает функцию на функцию комплексной переменной s , где .F ( s ) s = σ + j $f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

Поскольку производная отображается в , преобразование Лапласа линейного дифференциального уравнения является алгебраическим уравнением. Таким образом, преобразование Лапласа полезно, среди прочего, для решения линейных дифференциальных уравнений. сF(с$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

Если мы устанавливаем действительную часть комплексной переменной s к нулю, , то результат преобразования Фурье , которая, по существу, представление частотной области от (заметим , что это только справедливо если для этого значения формула для получения преобразования Лапласа функции , т. е. она не стремится к бесконечности).F ( J ω ) F ( т ) σ е ( т $\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

Z-преобразование по существу является дискретной версией преобразования Лапласа и, таким образом, может быть полезно при решении разностных уравнений, дискретной версии дифференциальных уравнений. Преобразование Z отображает последовательность в непрерывную функцию комплексной переменной .F ( z ) z = r e j $f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

Если мы установим величину z равной единице, , результатом будет дискретное временное преобразование Фурье (DTFT) которое по существу является представлением в частотной области .F ( j Ω ) f [ n $r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

Преобразования Лапласа можно рассматривать как супернабор для CTFT. Вы видите, что в ROC, если корни передаточной функции лежат на мнимой оси, т. Е. Для s = σ + jω, σ = 0, как упоминалось в предыдущих комментариях, проблема преобразований Лапласа сводится к непрерывному временному преобразованию Фурье. Чтобы немного перемотать назад, было бы хорошо узнать, почему преобразования Лапласа развились в первую очередь, когда у нас были преобразования Фурье. Видите ли, сходимость функции (сигнала) является обязательным условием существования преобразования Фурье (абсолютно суммируемого), но в физическом мире также существуют сигналы, в которых невозможно иметь такие сходящиеся сигналы. Но, поскольку их анализ необходим, мы заставляем их сходиться, умножая монотонно убывающую экспоненту e ^ σ на него, что заставляет их сходиться по самой своей природе. Этому новому σ + jω дается новое имя «s», которое мы часто заменяем как «jω» для реакции синусоидальных сигналов каузальных систем LTI. В s-плоскости, если ROC преобразования Лапласа покрывает мнимую ось, тогда это преобразование Фурье будет существовать всегда, так как сигнал будет сходиться. Именно эти сигналы на мнимой оси состоят из периодических сигналов e ^ jω = cosωt + j sinωt (по Эйлеру).

Во многом таким же образом z-transform является расширением DTFT, во-первых, чтобы они сходились, во-вторых, чтобы сделать нашу жизнь намного проще. С az легче работать, чем с ae ^ jω (задавая r, радиус окружности ROC равен untiy).

Кроме того, вы с большей вероятностью будете использовать преобразование Фурье, чем Лапласа, для сигналов, не являющихся причинными, поскольку преобразования Лапласа значительно упрощают жизнь при использовании в качестве односторонних (односторонних) преобразований. Вы также можете использовать их с обеих сторон, результат будет одинаковым с некоторыми математическими вариациями.

Преобразования Фурье предназначены для преобразования / представления изменяющейся во времени функции в частотной области.

Преобразование Лапласа предназначено для преобразования / представления изменяющейся во времени функции в «интегральной области»

Z-преобразования очень похожи на Laplace, но представляют собой дискретные преобразования временного интервала, более близкие для цифровых реализаций.

Все они выглядят одинаково, потому что методы, используемые для преобразования, очень похожи.

Я попытаюсь объяснить разницу между преобразованием Лапласа и Фурье на примере электрических цепей. Итак, предположим, что у нас есть система, которая описывается известным дифференциальным уравнением, скажем, например, что у нас есть общая схема RLC. Также предположим, что общий выключатель используется для включения или выключения цепи. Теперь, если мы хотим изучить схему в стационарном синусоидальном состоянии, мы должны использовать преобразование Фурье. В противном случае, если наш анализ включает в себя включение или выключение схемы, мы должны реализовать преобразование Лапласа для дифференциальных уравнений.

Другими словами, преобразование Лапласа используется для изучения переходной эволюции реакции системы из исходного состояния в конечное устойчивое состояние синусоиды. Он включает в себя не только переходное явление от начального состояния системы, но также и конечное устойчивое состояние синусоиды.

Разные инструменты для разных работ. Еще в конце шестнадцатого века астрономы начали делать неприятные вычисления. Логарифмы были сначала рассчитаны для преобразования умножения и деления в более простое сложение и вычитание. Аналогично, преобразования Лапласа и Z превращают неприятные дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения, которые у вас есть шанс решить. Ряды Фурье были первоначально изобретены для решения теплового потока в кирпичах и других дифференциальных уравнений в частных производных. Применение к вибрирующим струнам, органным трубам и анализу временных рядов появилось позже.

В любой системе LTI для вычисления передаточной функции мы используем только преобразование Лапласа вместо преобразования Фурье или z, потому что в Фурье мы получаем ограниченный выходной сигнал, он не уходит в бесконечность. И z-преобразование используется для дискретных сигналов, но системы LTI являются непрерывными сигналами, поэтому мы не можем использовать z-преобразование. Поэтому, используя преобразование Лапласа, мы можем вычислить передаточную функцию любой системы LTI.