При каких условиях преобразование звездной сетки обратимо?

Мы все знаем и любим преобразования Δ-Y (дельта-вай) и Y-Δ (вай-дельта) для упрощения трехрезисторных сетей:

Изображение из Creative Commons

Преобразования Δ-Y и Y-Δ обладают хорошим свойством, заключающимся в том, что Δ всегда можно превратить в Y, а Y всегда можно превратить в Δ, независимо от значения задействованных сопротивлений.

Существует обобщенная версия преобразования Y-Δ, называемая преобразованием звездной сетки . Это преобразует «звезду» из резисторов в «сетку» из резисторов .$N$$^{N}C_{2}$

Изображение из Creative Commons

Википедия предполагает, что преобразование звезда-сетка всегда будет существовать, но обратное преобразование сетка-звезда может не существовать. Для остроумия:

Преобразование заменяет N резисторов на резисторов. При N> 3 результатом является увеличение количества резисторов, поэтому преобразование не имеет общего обратного преобразования без дополнительных ограничений.$^{N}C_{2}$

Какие ограничения должны быть выполнены, чтобы существовало обратное?

Я особенно заинтересован в преобразовании ячеистой сети с 4 узлами в звездную сеть с 4 резисторами.

Мотивация вопроса: у меня есть модель промышленных энергосистем (на самом деле это просто очень большая сеть источников постоянного напряжения и импедансов), содержащая ~ 2000 узлов. Я пытаюсь уменьшить его до четырех интересующих узлов.

Редактировать:

Есть несколько опубликованных работ на эту тему.

• Версфельд Л., «Замечания о преобразовании звездных ячеек в электрических сетях», Electronics Letters, том 6, № 19, с.597,599, 17 сентября 1970 г.

  Изучаются два новых аспекта хорошо известного преобразования «звездная сетка»: (а) необходимые и достаточные условия для преобразования данной общей сети ячеек в эквивалентную звездную сеть; (б) расширение сетей, содержащих источники.

• Бапешвара Рао, В.В. Aatre, VK, "Преобразование сетки-звезды", Electronics Letters, том 10, № 6, с. 73, 74, 21 марта 1974 г.

  Для данной ячеистой сети существует эквивалентная звездная сеть, если последняя удовлетворяет соотношению Уитстона. Используя этот факт, показано, что все недиагональные кофакторы матрицы допуска базового узла такой ячеистой сети равны. Из этого свойства выводится простая связь между элементами двух сетей.

У меня нет доступа к IEEE Xplore, поэтому я не могу их прочитать.

$N_b$$N_b=N_e-N_v$$N_e$$N_v$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$$G_{XY}\ne0$$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{TOT}$$G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$$\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$. With similar calculations we can find all the 4 conductances(resistances) of the star.

I suppose all of this means the condition is also a sufficient condition.

What this is saying (whether it is true or not) is that there exists more than one way of assigning values to a star network of five resistors such that all the configurations appear indistinguishable according to all external "blackbox" measurements of resistance.

The mesh transformation is a red herring here. If the star networks were uniquely determined, then of course there would always be an inverse of any mapping from that network to any other type, back to that network.