Почему мы используем

В анализе переменного тока, $s=j\omega$ , когда мы имеем дело с $sL$ или $1/sC$ . Но для преобразования Лапласа $s=\sigma+j\omega$ .

Извините за неоднозначность, но я хотел бы соединить вопросы ниже:

• Почему сигма равна нулю?
• Частота neper связана с этим?
• Сигма равна нулю, поскольку входной сигнал является синусоидой постоянной ?$\pm V_{max}$

Конечно, по определению. Происходит то, что σ игнорируется, поскольку предполагается, что оно равно нулю. Причина этого заключается в том, что мы смотрим на реакцию системы на периодические (и, следовательно, не затухающие) синусоидальные сигналы, в результате чего Лаплас удобно сводится к Фурье вдоль мнимой оси. Вещественная ось в области Лапласа представляет экспоненциальные факторы затухания / роста, которых нет у чистых сигналов и которые Фурье не моделирует.$s = \sigma + j\omega$$\sigma$

Для анализа переменного тока предполагается, что схема имеет синусоидальные источники (с одинаковой угловой частотой ) и что все переходные процессы затухали. Это состояние известно как синусоидальное устойчивое состояние или постоянное состояние переменного тока .$\omega$

Это позволяет анализировать схему в векторной области .

Используя формулу Эйлера, мы имеем:

$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t})$

Тогда вектор, связанный с имеет вид → V a = A e j ϕ, который представляет собой просто комплексную константу, которая содержит информацию о величине и фазе сигнала временной области.$v(t)$$\vec V_a = Ae^{j\phi}$

Отсюда следует, что в этих условиях мы можем анализировать схему, отслеживая фазорные напряжения и токи и используя следующие соотношения:

$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L$

$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C}$

$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R$

Затем мы восстанавливаем решение во временной области по формуле Эйлера.

Теперь существует глубокая связь между векторным анализом и анализом Лапласа, но важно иметь в виду полный контекст анализа переменного тока, который, опять же:

(1) схема имеет синусоидальные источники (с одинаковой частотой )$\omega$

(2) все переходные процессы распались

Причина, по которой выбрана для оценки сигналов переменного тока, заключается в том, что она позволяет преобразовать преобразование Лапласа в преобразование Фурье.$S=j\omega$

Причина в том, что, хотя S является комплексной переменной, в представлении Фурье используется только вращательная (мнимая) компонента, поэтому .$\sigma=0$

Вы можете найти больше на этой странице Стэнфорда .

Анализ передаточной функции преобразования Лапласа (TF) дает полный отклик на синусоидальный входной сигнал от t = 0. Решение обычно содержит переходные члены, экспоненциально убывающие до нуля, и стационарные члены, которые остаются после исчезновения экспонент. Когда у нас есть полюсы и нули TF, например, s = -a + jw, часть '-a' дает экспоненциальный (e ^ -at) отклик, а часть jw дает синусоидальный стационарный отклик: (e ^ jwt) = cos (wt) + jsin (wt). Если нас интересует только стационарная часть отклика (как в случае анализа частотных откликов), то мы можем просто использовать подстановку s = jw в TF.

Обратите внимание, что e ^ jx = cos (x) + jsin (x) - это «идентичность Эйлера» и одно из самых важных и полезных отношений в науке и технике.

Это используется только для "Sin" и "Cos", что является случаем сигнала переменного тока. Примечание: Лаплас trasnform sin (at) или cos (at) «1 / jw + a» или «jw / jw + a», что можно доказать, используя идентификацию sin и cos, используя идентичность Эйлера, которая в основном равна 2 экспоненты, а у лапласа экспоненты есть только мнимая часть «jw».

Я напишу доказательство и выложу его здесь. :)

Если вы посмотрите на формулу преобразования Фурье и Лапласа, вы увидите, что «s» - преобразование Лапласа заменяется на «jw» в преобразовании Фурье. Вот почему вы можете получить преобразование Фурье от преобразования Лапласа, заменив 's' на 'jw'.