Почему мы используем


13

В анализе переменного тока, s=jω , когда мы имеем дело с sL или 1/sC . Но для преобразования Лапласа s=σ+jω .

Извините за неоднозначность, но я хотел бы соединить вопросы ниже:

  • Почему сигма равна нулю?
  • Частота neper связана с этим?
  • Сигма равна нулю, поскольку входной сигнал является синусоидой постоянной ?±Vmax

Может быть, у вас есть пример, где замена jw на s не звучит правдоподобно для вас. Для L и C s определенно = jw. Синусоиды постоянной амплитуды определенно только jw.
Энди ака

Я могу сделать все виды вычислений, используя s = jw, поэтому вопрос о том, почему не s = sigma + jw, задается в интервью и где-то еще.
user23564

1
Интересно, что я считаю, что было бы справедливо установить и назвать результат преобразованием Фурье, если вы находитесь в РПЦσ=0
Скотт Сейдман

Ответы:


22

Конечно, по определению. Происходит то, что σ игнорируется, поскольку предполагается, что оно равно нулю. Причина этого заключается в том, что мы смотрим на реакцию системы на периодические (и, следовательно, не затухающие) синусоидальные сигналы, в результате чего Лаплас удобно сводится к Фурье вдоль мнимой оси. Вещественная ось в области Лапласа представляет экспоненциальные факторы затухания / роста, которых нет у чистых сигналов и которые Фурье не моделирует.s=σ+jωσ


10

Для анализа переменного тока предполагается, что схема имеет синусоидальные источники (с одинаковой угловой частотой ) и что все переходные процессы затухали. Это состояние известно как синусоидальное устойчивое состояние или постоянное состояние переменного тока .ω

Это позволяет анализировать схему в векторной области .

Используя формулу Эйлера, мы имеем:

vA(t)=Acos(ωt+ϕ)=(Aejϕejωt)

Тогда вектор, связанный с имеет вид V a = A e j ϕ, который представляет собой просто комплексную константу, которая содержит информацию о величине и фазе сигнала временной области.v(t)Va=Aejϕ

Отсюда следует, что в этих условиях мы можем анализировать схему, отслеживая фазорные напряжения и токи и используя следующие соотношения:

VlIl=jωL

VcIc=1jωC

VrIr=R

Затем мы восстанавливаем решение во временной области по формуле Эйлера.

Теперь существует глубокая связь между векторным анализом и анализом Лапласа, но важно иметь в виду полный контекст анализа переменного тока, который, опять же:

(1) схема имеет синусоидальные источники (с одинаковой частотой )ω

(2) все переходные процессы распались


3

Причина, по которой выбрана для оценки сигналов переменного тока, заключается в том, что она позволяет преобразовать преобразование Лапласа в преобразование Фурье.Sзнак равноJω

Причина в том, что, хотя S является комплексной переменной, в представлении Фурье используется только вращательная (мнимая) компонента, поэтому .σзнак равно0

Вы можете найти больше на этой странице Стэнфорда .


Почему мы рассматриваем только вращательную составляющую? И дает ли Фурье вместо Лапласа какое-то преимущество?
user23564

1
@ user23564, лучше объяснить в других ответах: преобразование Лапласа является более общим, но преобразование Фурье более практично для объяснения векторов.
Клабаккио

3

Анализ передаточной функции преобразования Лапласа (TF) дает полный отклик на синусоидальный входной сигнал от t = 0. Решение обычно содержит переходные члены, экспоненциально убывающие до нуля, и стационарные члены, которые остаются после исчезновения экспонент. Когда у нас есть полюсы и нули TF, например, s = -a + jw, часть '-a' дает экспоненциальный (e ^ -at) отклик, а часть jw дает синусоидальный стационарный отклик: (e ^ jwt) = cos (wt) + jsin (wt). Если нас интересует только стационарная часть отклика (как в случае анализа частотных откликов), то мы можем просто использовать подстановку s = jw в TF.

Обратите внимание, что e ^ jx = cos (x) + jsin (x) - это «идентичность Эйлера» и одно из самых важных и полезных отношений в науке и технике.


1

Это используется только для "Sin" и "Cos", что является случаем сигнала переменного тока. Примечание: Лаплас trasnform sin (at) или cos (at) «1 / jw + a» или «jw / jw + a», что можно доказать, используя идентификацию sin и cos, используя идентичность Эйлера, которая в основном равна 2 экспоненты, а у лапласа экспоненты есть только мнимая часть «jw».

Я напишу доказательство и выложу его здесь. :)


1
Я думал, что Лаплас греха (в) = as2+a2 и Лаплас из cos (at) = ss2+a2
Энди ака

Да, ты прав! Мой плохой, я спешил!
Адель Биби

-1

Если вы посмотрите на формулу преобразования Фурье и Лапласа, вы увидите, что «s» - преобразование Лапласа заменяется на «jw» в преобразовании Фурье. Вот почему вы можете получить преобразование Фурье от преобразования Лапласа, заменив 's' на 'jw'.


1
Это, кажется, не добавляет никаких дополнительных деталей, не включенных более четко в существующие ответы.
PeterJ
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.