Почему увеличение частоты дискретизации облегчает внедрение фильтра сглаживания?

Из ответа на вопрос, касающийся частоты дискретизации и фильтра сглаживания, я прочитал следующее:

Чем ближе вы подходите к теоретической минимальной частоте дискретизации, тем сложнее практически реализовать аналоговый фильтр.

Если я не ошибаюсь, он говорит, что если наша частота дискретизации близка к нашей требуемой теоретической минимальной частоте выборки, то разработка аналогового фильтра сглаживания будет более сложной.

Я уверен, что это имеет смысл для многих, но я не мог понять, что здесь подразумевается и почему это так. Можно ли это объяснить на примере более простым способом?

Когда вы уменьшаете частоту дискретизации, между изображениями в частотной области становится меньше разделения.

источник

Помните, что повторение спектра происходит на частоте дискретизации. Когда изображения ближе друг к другу, вам нужно добиться большего ослабления в вашем фильтре сглаживания. Фильтр должен перейти от полосы пропускания к полосе остановки, прежде чем появится следующее изображение.

источник из этой презентации

Чтобы восстановить сигнал в цифровой области из аналоговой области, вам нужно как минимум две выборки в каждом цикле самой высокой частоты, присутствующей в аналоговом сигнале. Например, на компакт-дисках они используют 44,1 кГц для выборки максимальной частоты в звуковой полосе 20 кГц. Они могли бы использовать 40 кГц, но это на пределе, и фильтр сглаживания был бы невозможен.

При частоте дискретизации 44,1 кГц теоретически аудиосигнал с наивысшей частотой, который мог бы быть записан в цифровом виде без появления наложения, составил бы 22 кГц. Итак, что произойдет, если 24 кГц будет подан на цифровую систему дискретизации 44,1 кГц, вы можете спросить.

Это приведет к появлению псевдонима в сигнале 20 кГц в цифровой сфере, и это может ухудшиться. Что, если сигнал был 30 кГц? Это станет 16 кГц в цифровой сфере.

Это потому, что недостаточная выборка создает псевдоним:

Картинка отсюда .

Чтобы предотвратить это, вы используете фильтр, который обеспечивает достаточное затухание между 20 кГц и 24 кГц. Я говорю 24 кГц, потому что сигнал 24 кГц прямо на пределе, чтобы стать псевдонимом реального звукового сигнала 20 кГц. Таким образом, для людей с отличным слухом до 20 кГц (больше не я), фильтр сглаживания должен обеспечивать практически нулевое затухание при 20 кГц и, возможно, до 80 дБ (или более) при 24 кГц.

Это фильтр довольно высокого порядка, и большинство инженеров, работающих с такими системами, предпочли бы соотношение более 3: 1 для частоты дискретизации и максимальной аналоговой частоты.

Ваш фильтр сглаживания имеет три полосы

1) полоса пропускания от постоянного тока до Fwanted
2) полоса пропускания от Fsample-Fwanted до бесконечности
3) полоса перехода от Fwanted к Fsample-Fwanted

Стоимость фильтра (количество ступеней, компонент Q, количество умножителей) примерно пропорциональна обратной величине полосы перехода и увеличивается с глубиной в дБ полосы останова.

Чем выше Fsample, тем шире полоса перехода и тем дешевле фильтр

$f_s$

$f_s/2$

$f_s/2$$f_s/2$

$f_s/2$

$f_s/2$

Таким образом, фильтр в идеале должен:

$f < f_s/2$

но

$f > f_s/2$

Это невозможно сделать! Таким образом, должен быть компромисс.

$f_s/2$$f_s/2$

Все станет намного проще, если мы тоже:

$f_s/2$

или

$f_s/2$

$f_s/2$

$f_s/2$

Допустим, ваш диапазон частот от 0 до 100 Гц, а ваш сигнал имеет ограниченный по полосе белый шум до 10 кГц. Теперь, допустим, вы решили сэмплировать на частоте 2 кГц. Вы можете создать хороший фильтр с низким числом полюсов с ослаблением 20 дБ / десятилетие и уменьшить шум, чтобы минимизировать алиасинг

Теперь предположим, что вы хотите сэмплировать при частоте 210 Гц. Вам нужно построить фильтр высокого порядка, чтобы получить достаточное ослабление. Такие фильтры сложнее и дороже в разработке и изготовлении. Если вам удастся сделать это правильно, вы получите сигнал с существенными фазовыми искажениями в полосе пропускания.

Для аналогового фильтра необходимо учитывать производительность фильтра в диапазоне самой высокой частоты, представляющей интерес. Часто это означает, что вам необходимо установить «fc» для аналогового фильтра немного выше, чем самая высокая частота, представляющая интерес (и / или использовать более резкий фильтр).

Чтобы избежать наложения, вы должны производить выборку с частотой, которая по крайней мере вдвое превышает частоту самого высокого компонента, который будет проходить через ваш фильтр, на некотором максимальном уровне, при котором вы можете допустить загрязнение псевдонимом сигнала. Это означает, что частота дискретизации, по крайней мере, в два раза выше, и часто она должна быть немного выше.

Таким образом, теперь, работая в обратном направлении, с более высокой частотой дискретизации, вы можете иметь более высокий fc, и это означает, что вы можете легче иметь плоский отклик до некоторой частоты, представляющей интерес меньше, чем fc.

Но . как вы, наверное, знаете, шум увеличивается с пропускной способностью. Таким образом, для приложений с низким уровнем шума вам может потребоваться консервативная настройка полосы пропускания фильтра.